Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2019 có đáp án (Phần 1)- Đề 15

Ta có: $B=18\iff 6\sqrt{x+1}=18\iff \sqrt{x+1}=3\Rightarrow x+1=9\iff x=8\left(tm\right)$

Vậy x= 3 thì B=18 

Vậy hệ phương trình có nghiệm $\left(x;y\right)=\left(-1;2\right)$

b) Đặt $t=x^2(t\ge 0)$ . Khi đó phương trình trở thành

$\begin{array}{c}4t^2+7t-2=0\iff 4t^2+8t-t-2=0\\ \iff 4t\left(t+2\right)-\left(t+2\right)=0\iff \left(t+2\right)\left(4t-1\right)=0\\ \iff [\begin{array}{c}t=-2\left(ktm\right)\\ t=\frac{1}{4}\left(tm\right)\Rightarrow x=\pm \frac{1}{2}\end{array}\end{array}$

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm $S=\left\{-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right\}$

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng $d:y=-2x+4$và parabol (P):$y=2x^2$

$\begin{array}{c}\iff x^2+x-2=0\iff x^2-x+2x-2=0\\ \iff \left(x-1\right)\left(x+2\right)=0\iff \left(\begin{array}{c}x-1=0\\ x+2=0\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}x=1\Rightarrow y=2\\ x=-2\Rightarrow y=8\end{array}\right)\end{array}$

Vậy giao điểm của (P) và  (d)  là  

Kẻ $MH\perp AB\left(M\in AB\right).$Nhận xét thấy khoảng cách từ $M\left(-2;0\right)$xuống đường thẳng AB chính là MH

Lại thấy $B\left(-2;8\right),M\left(-2;0\right)\Rightarrow$Phương trình đường thẳng BM là $x=-2\Rightarrow BM\perp Ox$hay $BM\perp MC$suy ra $\Delta BMC$vuông tại M.

Ta lại có: $B\left(-2;8\right);M\left(-2;0\right);C\left(\mathrm{2,0}\right)\Rightarrow BM=\mathrm{8,}CM=4$

Xét $\Delta BMC$vuông tại M có MH là đường cao nên :

$\frac{1}{M{H}^2}=\frac{1}{B{M}^2}+\frac{1}{M{C}^2}=\frac{1}{8^2}+\frac{1}{4^2}=\frac{5}{64}\iff MH=\frac{8\sqrt{5}}{5}$

Vậy khoảng cách cần tìm là $MH=\frac{8\sqrt{5}}{5}$

Phương trình đã cho có hai nghiệm $x_1,x_2\iff \Delta \ge 0$

$\begin{array}{c}\iff {\left(m^2+2m-15\right)}^2-16\left({\left(m+1\right)}^2-20\right)\ge 0\\ \iff {\left({\left(m+1\right)}^2-16\right)}^2-16{\left(m+1\right)}^2+320\ge 0\\ \iff {\left(m+1\right)}^4-32.{\left(m+1\right)}^2+256-16{\left(m+1\right)}^2+320\ge 0\\ \iff {\left(m+1\right)}^4-48.{\left(m+1\right)}^2+576\ge 0\\ \iff {\left(m+1\right)}^4-\mathrm{2.24.}{\left(m+1\right)}^2+{24}^2\ge 0\\ \left({\left(m+1\right)}^2-24\right)\ge 0\forall m\end{array}$

Nên phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: $\begin{array}{c}\left(\begin{array}{c}{x}_1+x_2=-\frac{m^2+2m-15}{4}=-\frac{{\left(m+1\right)}^2-16}{4}=-\frac{{\left(m+1\right)}^2}{4}+4\\ x_1{x}_2=\frac{{\left(m+1\right)}^2-20}{4}=\frac{{\left(m+1\right)}^2}{4}-5\end{array}\right)\\ \Rightarrow x_1+x_2+x_1{x}_2=-1(*)\end{array}$

Theo đề bài ta có: $x_1^2+x_2+2019=0\iff x_2=-x_1^2-2019$

Thay vào (*) ta có:

$\begin{array}{c}\iff x_1^3+x_1^2+2018x_1+2018=0\iff x_1^2\left(x_1+1\right)+2018\left(x_1+1\right)=0\\ \iff \left(x_1+1\right)\left(x_1^2+2018\right)=0\iff x_1+1=0(x_1^2+2018>0)\\ \iff x_1=-1\Rightarrow x_2=-1-2019=-2020\end{array}$

 

Mặt khác $x_1{x}_2=\frac{{\left(m+1\right)}^2}{4}-5$

$\begin{array}{c}\iff 2020=\frac{{\left(m+1\right)}^2}{4}-5\iff 2025.4={\left(m+1\right)}^2\\ \iff {\left(m+1\right)}^2=8100\iff \left(\begin{array}{c}m+1=90\\ m+1=-90\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}m=89\\ m=-91\end{array}\right)\end{array}$

Vậy $m\in \left(89;-91\right)$thỏa mãn điều kiện bài toán

Gọi chiều rộng của mảnh đất là x (mét) $(x>3)$

Chiều dài của mảnh đất là y mét ($y>x>3)$

Diện tích mảnh đất là $80m^2$nên ta có phương trình $xy=80\left(1\right)$

Nếu giảm chiều rộng đi 3m thì chiều rộng mới là $x-3\left(m\right)$

Nếu tăng chiều dài lên 10m thì chiều dài mới là $y+10\left(m\right)$

Diện tích mảnh đất mới là $80+20=100\left(m^2\right)$nên ta có phương trình:

$\left(x-3\right)\left(y+10\right)=100\left(2\right)$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$\begin{array}{c}\left(\begin{array}{c}xy=80\\ \left(x-3\right)\left(y+10\right)=100\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}xy=80\\ xy-3y+10x-30-100=0\end{array}\right)\\ \iff \left(\begin{array}{c}xy=80\\ 80+10x-3y-130=0\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}10xy=800\\ 10x+3y+50\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}\left(3y+50\right)y=800\\ 10x=3y+50\end{array}\right)\\ \iff \left(\begin{array}{c}3y^2+50y-800=0\\ 10x=3y+50\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}\left(\begin{array}{c}y=10\left(tm\right)\\ y=-\frac{80}{3}\left(ktm\right)\end{array}\right)\\ x=\frac{80}{y}\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}x=8\\ y=10\end{array}\right)\left(tm\right)\end{array}$

 

Vậy chiều dài mảnh đất là 10m và chiều rộng mảnh đất là 8m

a)  

      Ta có : $\widehat{DHB}={90}^0$($DE\perp AB$tại H)$\Rightarrow \widehat{DHC}={90}^0$

$\widehat{CKB}={90}^0$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính BC)$\Rightarrow \widehat{CKD}={90}^0$

Xét tứ giác DHCK có $\widehat{DHC}+\widehat{CKD}={180}^0,$mà hai góc ở vị trí đối diện nên tứ giác DHCK nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng ${180}^0)$(đpcm)

a)    Có $DE\perp AB\Rightarrow HD=HE$(đường kính dây cung)

Lại có: $HA=HC\left(gt\right)$nên tứ giác $DAEC$ là hình bình hành $\Rightarrow CE//DA\left(dfcm\right)$

Lại có $\widehat{CKB}={90}^0$(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính BC)$\Rightarrow CK\perp KB\left(1\right)$

Mà $\widehat{ADB}={90}^0$(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB)$\Rightarrow AD\perp DB\left(2\right)$

Từ (1) và (2) suy ra $CK//AD$(từ vuông góc đến song song)

Mà $CE//AD\left(cmt\right)$ nên theo tiên đề Oclit suy ra ba điểm $E,C,K$thẳng hàng.

Kẻ đường kính MP của đường tròn (O) . Nối N với P cắt AB tai I . Nối E với P, E với B.

Có $\widehat{MNP}={90}^0$(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)$\Rightarrow MN\perp NP$

Mà $MN\perp DE\left(gt\right)$nên $NP//DE\Rightarrow DNPE$là hình thang

Lại có $DE\perp AB,NP//DE\Rightarrow NP\perp AB\Rightarrow I$là trung điểm của NP (tính chất đường kính dây cung)$\Rightarrow B$là điểm chính giữa cung NP

$\Rightarrow sd\stackrel{⏜}{NB}=sd\stackrel{⏜}{PB}$

Dễ thấy tam giác BDE cân tại B (đường cao BH cũng là đường trung tuyến)

$\Rightarrow BD=BE\Rightarrow sd\stackrel{⏜}{BD}=sd\stackrel{⏜}{BE}$

$\Rightarrow s\text{d}DB-sdBN=sdEB-sdBP\Rightarrow s\text{d}DN=sdEP\Rightarrow DN=EP$(hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau)

Do đó: $E{M}^2+D{N}^2=E{M}^2+E{P}^2=M{P}^2$(Do tam giác MEP vuông tại E), mà $MP=AB$(=đường kính)

Vậy $E{M}^2+E{P}^2=A{B}^2\left(dfcm\right)$