Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2019 có đáp án (Phần 1)- Đề 16

Vậy $A=2\sqrt{2}$

2) $x^2-2x=0\iff x\left(x-2\right)=0\iff \left(\begin{array}{c}x=0\\ x-2=0\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}x=0\\ x=2\end{array}\right)$

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm $S=\left(0;2\right)$

Đồ thị hàm số $y=a{x}^2$đi qua điểm $A\left(-3;1\right)$nên thay tọa độ điểm A vào công thức hàm số ta được: $1=a.{\left(-3\right)}^2\iff a=\frac{1}{9}$

Vậy $a=\frac{1}{9}$

Với n= 0 ta có phương trình $\left(1\right)\iff x^2-2mx+2m-1=0$

Phương trình có $\Delta \text{'}=m^2-2m+1={\left(m-1\right)}^2\ge 0\forall m$

Vậy với m  thì phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m

Ta có: $\Delta ={\left(2m-n\right)}^2-4\left(2m+3n-1\right)=4m^2-4mn+n^2-8m-12n+4$

Phương trình (1) có hai nghiệm $x_1,x_2$ $\iff \Delta \ge 0\iff 4m^2-4mn+n^2-8m-12n+4\ge 0(*)$

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: $\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=2m-n\left(2\right)\\ x_1{x}_2=2m+3n-1\left(3\right)\end{array}$

Theo đề bài ta có: $\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=-1\\ x_1^2+x_2^2=13\end{array}\iff \{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=-1\left(4\right)\\ {\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2=13\left(5\right)\end{array}$

Thế (3) và (4) vào (5) ta được:

$\begin{array}{c}\left(5\right)\iff {\left(-1\right)}^2-2\left(2m+3n-1\right)=13\\ \iff 1-4m-6n+2=13\\ \Rightarrow 4m+6n=-10\iff 2m+3n=-5\left(6\right)\end{array}$

Từ (2) và (4) ta có: $2m-n=-1\iff n=2m+1\left(7\right)$

Thế (7) vào (6) ta được: $2m+3\left(2m+1\right)=-5\iff 2m+6m+3=-5\iff 8m=-8\iff m=-1$

$\Rightarrow n=2m+1=2.\left(-1\right)+1=-1$

Thay $m=-\mathrm{1,}n=-1$ vào điều kiện (*) ta có:

$4.{\left(-1\right)}^2-4.\left(-1\right)\left(-1\right)+{\left(-1\right)}^2-8.\left(-1\right)-12.\left(-1\right)+4=25>0$

$\Rightarrow \{\begin{array}{c}m=-1\\ n=-1\end{array}$thỏa mãn

Vậy $m=-\mathrm{1,}n=-1$là các giá trị cần tìm

a, Xét tứ giác ONMP ta có:

$\widehat{ONP}={90}^0\left(NP\perp AB\right)$

$\widehat{OMP}={90}^0$(EFlà tiếp tuyến của $\left(O\right))\Rightarrow \widehat{ONP}=\widehat{OMP}={90}^0$

Mà hai đỉnh N,P là hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh OP nên ONMP là tứ giác nội tiếp.

b, Xét (O) ta có:

$\widehat{COM}$ là góc ở tâm chắn cung CM

$\widehat{CME}$là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung CM

$\Rightarrow \widehat{CME}=\frac{1}{2}\widehat{COM}=\frac{1}{2}\left(\widehat{COB}+\widehat{BOM}\right)=\frac{1}{2}\left({90}^0+{30}^0\right)={60}^0$ (tính chất góc nôi tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn 1 cung)

Hay $\widehat{NME}={60}^0$

Xét $\Delta OME$vuông tại  M ta có: $\widehat{OEM}={90}^0-\widehat{EOM}={90}^0-{30}^0={60}^0$

Xét $\Delta MNE$ta có: $\widehat{NEM}=\widehat{NME}={60}^0\left(cmt\right)\Rightarrow \Delta NME$là tam giác đều (đpcm).

c, Ta có: $\Delta MNE$là tam giác đều (cmt)

$\Rightarrow \widehat{ENM}={60}^0=\widehat{ONC}$(hai góc đối đỉnh)

$\Rightarrow \widehat{OCN}={90}^0-\widehat{ONC}={90}^0-{60}^0={30}^0$

Vì $ONMP$là tứ giác nội tiếp (cmt)$\Rightarrow \widehat{OPN}=\widehat{OMN}={30}^0$(hai góc nội tiếp cùng chắn cung ON)

Ta có: $\{\begin{array}{c}OC\perp AB=\left\{O\right\}\\ NP\perp AB=\left\{N\right\}\end{array}\Rightarrow OC=NP\Rightarrow OCPN$là hình thang

Mà $\widehat{OCN}=\widehat{OPN}={30}^0\left(cmt\right)$

Lại có hai góc này là hai góc đối nhau nên OCNP là hình bình hành

$\Rightarrow OC=NP\left(dfcm\right)$

d, Gọi I là chân đường cao kẻ từ A đến EF thì $H\in AI$

Giả sử phản chứng A, H, P thẳng hàng thì $P\equiv I$ hay $AP\perp EF$

Có $\widehat{EOP}=\widehat{NOP}={90}^0-\widehat{ONP}={60}^0$và $\widehat{OEP}={60}^0\left(cmt\right)$nên $\Delta OEP$ là tam giác cân có một góc bằng ${60}^0$ nên là tam giác đều $\Rightarrow OP=PE\left(1\right)$

Lại có:$\widehat{POF}={90}^0-\widehat{EOP}={90}^0-{60}^0={30}^0$ và $\widehat{PFO}={90}^0-\widehat{OEP}={90}^0-{60}^0={30}^0$nên tam giác OPF cân tại P hay $OP=PF\left(2\right)$

Từ (1) và (2) suy ra $PE=PF\left(=OP\right)$

Xét $\Delta AEF$có $AP\perp EF\left(gt\right)\Rightarrow PE=PF$nên AP vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến

$\Rightarrow \Delta AEF$cân tại A , mà $\widehat{AEF}={60}^0$nên tam giác AEF đều

$\Rightarrow FO$ vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến$\Rightarrow OA=OE$ (vô lý vì $OA<OE)$

Vậy ba điểm A, H, P không thẳng hàng

 

Do $x+2y+3z=2$ nên $\left(\begin{array}{c}x=2-2y-3z\\ 2y=2-x-3z\\ 3z=2-x-2y\end{array}\right),$ Khi đó:

$\begin{array}{c}xy+3z=xy+\left(2-x-2y\right)=\left(xy-x\right)-\left(2y-2\right)=x\left(y-1\right)-2\left(y-1\right)=\left(x-2\right)\left(y-1\right)\\ 3yz+x=3yz+\left(2-2y-3z\right)=\left(3yz-3z\right)-\left(2y-2\right)=\left(y-1\right)\left(3z-2\right)\\ 3xz+4y=3xz+2\left(2-x-3z\right)=\left(3xz-6z\right)-\left(2x-4\right)=3z\left(x-2\right)-2\left(x-2\right)=\left(x-2\right)\left(3z-2\right)\end{array}$

Suy ra:
$\begin{array}{c}S=\sqrt{\frac{xy}{\left(x-2\right)\left(y-1\right)}}+\sqrt{\frac{3yz}{\left(y-1\right)\left(3z-2\right)}}+\sqrt{\frac{3xz}{\left(x-2\right)\left(3z-2\right)}}\\ =\sqrt{\frac{x}{2\left(1-y\right)}}\sqrt{\frac{2y}{2-x}}+\sqrt{\frac{2y}{1-3z}}\sqrt{\frac{3z}{2\left(1-y\right)}}+\sqrt{\frac{x}{2-3z}}\sqrt{\frac{3z}{2-x}}\\ \le \frac{1}{2}\left(\frac{x}{2\left(1-y\right)}+\frac{2y}{2-x}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{2y}{2-3z}+\frac{3z}{2\left(1-y\right)}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{x}{2-3z}+\frac{3z}{2-x}\right)\\ =\frac{1}{2}\left(\frac{x}{2\left(1-y\right)}+\frac{2y}{2-x}+\frac{2y}{2-3z}+\frac{3z}{2\left(1-y\right)}+\frac{x}{2-3z}+\frac{3z}{2-x}\right)\\ =\frac{1}{2}\left(\frac{x+3z}{2\left(1-y\right)}+\frac{2y+3z}{2-x}+\frac{2y+x}{2-3z}\right)\\ =\frac{1}{2}\left(\frac{2-2y}{2(1-y)}+\frac{2-x}{2-x}+\frac{2-3z}{2-3z}\right)=\frac{1}{2}\left(1+1+1\right)=\frac{3}{2}\end{array}$

Hay $S\le \frac{3}{2}\Rightarrow MaxS=\frac{3}{2}$

Dấu”=” xảy ra $\iff \left(\begin{array}{c}\frac{x}{2\left(1-y\right)}=\frac{2y}{2-x}\\ \frac{2y}{2-3z}=\frac{3z}{2\left(1-y\right)}\\ \frac{x}{2-3z}=\frac{3z}{2-x}\end{array}\right)\Rightarrow 2x-x^2=4y-4y^2=6z-9z^2$và $x+2y+3z=2$