Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2019 có đáp án (Phần 1)- Đề 22

$\begin{array}{c}\text{a)\hspace{0.17em}P=}\left(\frac{1}{\sqrt{a}-1}-\frac{1}{\sqrt{a}}\right):\left(\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-2}-\frac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}-1}\right) \left(\begin{array}{c}a>0\\ a\ne 1; a\ne 4\end{array}\right)\\ =\frac{\sqrt{a}-\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-1)}:\frac{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)-\left(\sqrt{a}+2\right)\left(\sqrt{a}-2\right)}{\left(\sqrt{a}-2\right).\left(\sqrt{a}-1\right)}\\ =\frac{1}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-1)}.\frac{\left(\sqrt{a}-2\right).\left(\sqrt{a}-1\right)}{a-1-a+4}=\frac{\sqrt{a}-2}{3\sqrt{a}}\end{array}$

$\begin{array}{c}b)\text{\hspace{0.17em}Vì \hspace{0.17em}}P>\frac{1}{6}\iff \frac{\sqrt{a}-2}{3\sqrt{a}}>\frac{1}{6}\iff 6\sqrt{a}-12>3\sqrt{a}\iff 9\sqrt{a}>12\iff \sqrt{a}>\frac{4}{3}\iff a>\frac{16}{9}\\ Vậy a>\frac{16}{9}và a\ne 4\text{\hspace{0.17em}thì \hspace{0.17em}}P>\frac{1}{6}\end{array}$

$\begin{array}{c}a)x^2-2(m-1)x+m+1=0\\ \Delta \text{'}{(m - 1)}^2 - m -1=-m-1=m^2-2m+1-m-1=m^2-3m\\ \text{Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt \hspace{0.17em}}\Delta \text{'}>0\iff m^2-3m>0\iff [\begin{array}{c}m>3\\ m<0\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{c}b) áp dụng Viet\Rightarrow \left(\begin{array}{c}{x}_1+x_2=2m-2\\ x_1{x}_2=m+1\end{array}\right)\\ Tacó: \left(\begin{array}{c}{x}_1=3x_2\\ x_1+x_2=2m-2\\ x_1{x}_2=m+1\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}4x_2=2m-2\\ x_1=3x_2\\ x_1{x}_2=m+1\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}{x}_2=\frac{m-1}{2}\\ x_1=\frac{3m-3}{2}\end{array}\right)\\ x_1{x}_2=m+1\iff \left(\frac{m-1}{2}\right).\frac{3}{2}(m-1)=m+1\\ \iff \frac{3}{4}(m^2-2m+1)=m+1\\ \iff \frac{3}{4}{m}^2-\frac{5}{2}m-\frac{1}{4}=0\iff \left(\begin{array}{c}m=\frac{5+2\sqrt{7}}{3}\left(chọn\right)\\ m=\frac{5-2\sqrt{7}}{3} \left(loại\right) \end{array}\right)\end{array}$

$\begin{array}{c}Gọ x( giờ ) là thời gian xong việc của người thứ 1(x>16)\\ Gọi y ( giờ) là thời gian xong việc của người thứ II(y>16)\\ \Rightarrow 1 giờ người thứ nhất làm được \frac{1}{x}\\ 1giờ người thứ hai làm được \text{:}\frac{1}{y}\\ Theo đề ta có hệ phương trình :\left(\begin{array}{c}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{16}\\ \frac{3}{x}+\frac{6}{y}=\frac{1}{4}\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}\frac{1}{x}=\frac{1}{24}\\ \frac{1}{y}=\frac{1}{48}\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}x=24\\ x=48\end{array}\right)\left(chọn\right)\\ Vậy người thứ nhất mất 24h xong, người thứ hai mất 48h xong\end{array}$

$\begin{array}{c}a)EM\text{\hspace{0.17em} là tiếp tuyến \hspace{0.17em}}\Rightarrow \widehat{EMO}={90}^0\\ Tacó C là điểm chính giữa\Rightarrow CO\perp BA\Rightarrow \widehat{AOC}={90}^0\\ mà HE//AB\Rightarrow \widehat{EHO}={90}^0\\ Tứ giác ¸EMHO có \widehat{EMO}=\widehat{EHO}={90}^0, có 2 đỉnh M, H liên tiếp cùng nhìn EOdưới 1 góc {90}^0\\ \Rightarrow EMHO là tứ giác nội tiếp \end{array}$

$\begin{array}{c}b)\text{\hspace{0.17em}Vì \hspace{0.17em}}EMHO là tứ giác nội tiếp \Rightarrow \widehat{MHE}=\widehat{MOE}(cùng nhìn ME ) (1)\\ mà \widehat{MHE}=\widehat{MBA}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}( đồng vị }) (2)\text{\hspace{0.17em}mà \hspace{0.17em}}\widehat{MBA}=\widehat{BMO}\left(\Delta MOB\text{\hspace{0.17em}cân \hspace{0.17em}}doOM=OB=R\right)(3)\\ \widehat{BMO}=\widehat{HEO}(cùng nhìn HO) \left(4\right)\text{\hspace{0.17em} và \hspace{0.17em}}\widehat{HEO}=\widehat{EOA}\left(soletrong\right)\left(5\right)\\ từ \left(1\right);\left(2\right);\left(3\right);\left(4\right);\left(5\right)\Rightarrow \widehat{MOE}=\widehat{EOA}\\ \text{và }OEchung;OA=OM=R\Rightarrow \Delta EMO=\Delta EAO\left(cgc\right)\Rightarrow \hat{A}=\hat{M}={90}^0\\ \Rightarrow Tứ giác AEHO\text{\hspace{0.17em}có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật}\Rightarrow EH=AO=R\end{array}$

$\begin{array}{c}c)\text{\hspace{0.17em}ta gọi D là tâm đường tròn nội tiếp \hspace{0.17em}}\Delta OMK\Rightarrow \widehat{DOC}=\frac{1}{2}\widehat{MOK}\\ mà \widehat{DBC}=\frac{1}{2}\widehat{MOK}(góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn \stackrel{⏜}{MC})\Rightarrow \widehat{DBC}=\widehat{DOC}\\ \text{Mà \hspace{0.17em}}\widehat{DBC},\widehat{DOC }\text{ có 2 đỉnh O, B cung nhìn cạnh BC dưới 1 góc bằng nhau }\\ \Rightarrow ODCBnội tiếp \Rightarrow Đương tròn ngoại tiếp ∆OBC đi qua tâm D\end{array}$

$\begin{array}{c}Áp dụng công thức Bunhiacopxki\\ \Rightarrow A=\sqrt{x-1}+\sqrt{y-2}\le \sqrt{\left(1^2+1^2\right)\left(x-1+y-2\right)}=\sqrt{2.(4-3)}=\sqrt{2}\\ \Rightarrow Mà A=\sqrt{2}.Dấu "="xảy ra\iff \left(\begin{array}{c}x-1=y-2\\ x+y=4\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}x=\frac{3}{2}\\ y=\frac{5}{2}\end{array}\right)\\ Vậy MaxA=\sqrt{2}\iff \left(\begin{array}{c}x=\frac{3}{2}\\ y=\frac{5}{2}\end{array}\right)\end{array}$