Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2019 có đáp án (Phần 1)- Đề 25

a, Vì $M\left(1;5\right);N\left(2;8\right)\in \left(d\right):y=ax+b$

$\Rightarrow \{\begin{array}{c}a+b=5\\ 2a+b=8\end{array}\iff \{\begin{array}{c}a=3\\ b=2\end{array}$

Vậy $a=\mathrm{3,}b=2$

b, $x^2-6x+m-3=0$ có $\Delta \text{'}={\left(-3\right)}^2-\left(m-3\right)=12-m$

Để phương trình có nghiệm $\iff \Delta \text{'}\ge 0\iff m\le 12$

Áp dụng định lý Viet $\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=6\\ x_1{x}_2=m-3\end{array}$

$\begin{array}{c}\left(x_1-1\right)\left(x_2^2-5x_2+m-4\right)=0\\ \iff \left(x_1-1\right)\left(x_2^2-6x_2+m-3+x_2-1\right)=0\\ \iff \left(x_1-1\right)\left(0+x_2-1\right)=0\\ \iff x_1{x}_2-\left(x_1+x_2\right)+1=0\\ \iff m-3-6+1=0\\ \iff m=8\left(tm\right)\end{array}$

Vậy m=3 

a,

Tứ giác AMBO có: $\widehat{MAO}=\widehat{MBO}={90}^0$(tính chất tiếp tuyến)

suy ra $\widehat{MAO}+\widehat{MBO}={90}^0+{90}^0={180}^0$

Vậy tứ giác AMBO  là tứ giác nội tiếp

b, Xét $\Delta MCA$và $\Delta MAD$có: $\hat{M}$ chung; $\hat{A}=\hat{D}$(cùng chắn $\stackrel{⏜}{AC})$

$\Rightarrow \Delta MCA~\Delta MAD(g.g)\Rightarrow \frac{MC}{MA}=\frac{MA}{MD}\Rightarrow MC.MD=M{A}^2\left(dfcm\right)$

c, Gọi S là giao điểm của AB và MO

Áp dụng hệ thức lượng cho $\Delta MAO$vuông ta có $M{A}^2=MS.MO$

Mà $M{A}^2=MC.MD\left(cmt\right)\Rightarrow MS.MO=MC.MD\Rightarrow \frac{MC}{MS}=\frac{MO}{MD}$, lại có $\hat{M}$ chung

$\Rightarrow \Delta MCS~\Delta MOD\left(cgc\right)\Rightarrow \widehat{MCS}=\widehat{MOD}$, mà hai góc này ở vị trí góc ngoài bằng góc trong tại đỉnh đối diện $\Rightarrow CSOD$ là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow$Đường tròn ngoại tiếp $\Delta OCD$đi qua điểm S cố định

Theo đề bài ta có: $a+b+3ab=1\iff 3ab=1-\left(a+b\right)\iff ab=\frac{1-\left(a+b\right)}{3}$

Áp dụng BĐT Cosi ta có: $ab\le \frac{{\left(a+b\right)}^2}{4}$

$\begin{array}{c}\Rightarrow \frac{1-\left(a+b\right)}{3}\le \frac{{\left(a+b\right)}^2}{4}\\ \iff 4-4\left(a+b\right)\le 3{\left(a+b\right)}^2\\ \iff 3{\left(a+b\right)}^2+4\left(a+b\right)-4\ge 0\\ \iff 3{\left(a+b\right)}^2+6\left(a+b\right)-2(a+b)-4\ge 0\\ \iff 3{\left(a+b\right)}^2+6\left(a+b\right)-2\left(a+b+2\right)\ge 0\\ \iff 3\left(a+b\right)\left(a+b+2\right)-2\left(a+b+2\right)\ge 0\\ \iff \left(a+b+2\right)\left(3\left(a+b\right)-2\right)\ge 0\\ \iff 3\left(a+b\right)-2\ge 0(do\mathrm{...}a+b+2>0\forall a,b>0)\\ \iff a+b\ge \frac{2}{3}\\ \Rightarrow P=\frac{6ab}{a+b}-\left(a^2+b^2\right)=\frac{2-2\left(a+b\right)}{a+b}-\left(a^2+b^2\right)\\ \le \frac{2}{a+b}-2-\frac{{\left(a+b\right)}^2}{2}\le \frac{2}{\frac{2}{3}}-2-\frac{{\left(\frac{2}{3}\right)}^2}{2}=\frac{7}{9}\end{array}$

Dấu $"="$xảy ra $\iff \left(\begin{array}{c}a=b\\ a+b=\frac{2}{3}\end{array}\right)\iff a=b=\frac{1}{3}$

Vậy $MaxP=\frac{7}{9}\iff a=b=\frac{1}{3}$