Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2019 có đáp án (Phần 1)- Đề 27

a, Rút gọn

 $\begin{array}{c}A=\left(\sqrt{20}-\sqrt{45}+3\sqrt{5}\right):\sqrt{5}=\left(2\sqrt{5}-3\sqrt{5}+3\sqrt{5}\right):\sqrt{5}\\ =2\sqrt{5}:\sqrt{5}=2\end{array}$

$\begin{array}{c}B=\frac{x+2\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+\frac{x-9}{\sqrt{x}+3}\left(x>0\right)\\ =\frac{\sqrt{x}.\left(\sqrt{x}+2\right)}{\sqrt{x}}+\frac{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}{\sqrt{x}+3}\\ =\sqrt{x}+2+\sqrt{x}-3=2\sqrt{x}-1\end{array}$

 

b, Với x> 0 ta có B= A 

$\Rightarrow 2\sqrt{x}-1=2\iff \sqrt{x}=\frac{3}{2}\iff x=\frac{9}{4}\left(tm\right)$

Vậy $x=\frac{9}{4}$ với thì giá trị biểu thức B= A 

a, Để đường thẳng $y=\left(m+4\right)x+11$ và $y=x+m^2+2$ cắt nhau tại một điểm trên trục tung

$\Rightarrow \left(\begin{array}{c}a\ne a\text{'}\\ b=b\text{'}\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}m+4\ne 1\\ 11=m^2+2\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}m\ne -3\\ m^2=9\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}m\ne -3\\ \left(\begin{array}{c}m=3\left(tm\right)\\ m=-3\left(ktm\right)\end{array}\right)\end{array}\right)$

Vậy m=3 với thì hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm trên trục tung.

b, Xét hệ phương trình $\{\begin{array}{c}3x-\frac{2}{y+1}=-\frac{1}{2}\\ 2x+\frac{1}{y+1}=2\end{array}$ (ĐK $y\ne -1)$

$\begin{array}{c}\iff \{\begin{array}{c}3x-\frac{2}{y+1}=\frac{-1}{2}\\ 4x+\frac{2}{y+1}=4\end{array}\iff \{\begin{array}{c}7x=\frac{7}{2}\\ 2x+\frac{1}{y+1}=2\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x=\frac{1}{2}\\ \frac{1}{y+1}=1\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{c}x=\frac{1}{2}\\ y+1=1\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x=\frac{1}{2}\\ y=0\left(tm\right)\end{array}\end{array}$

 

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left(x;y\right)=\left(\frac{1}{2};0\right)$

1. Xét phương trình $x^2-2mx+4m-4=0\left(1\right)$

a,Với m=1  thay vào (1) $\Rightarrow x^2-2x=0\iff x\left(x-2\right)=0\iff \left(\begin{array}{c}x=0\\ x=2\end{array}\right)$

Vậy với m=1 thì phương trình có nghiệm x=0  hoặc x=2

b, Xét phương trình (1) ta có

$\Delta ={\left(-2m\right)}^2-4.\left(4m-4\right)=4m^2-16m+16={\left(2m-4\right)}^2\ge 0\forall m$

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì $\Delta >0\iff 2m-4\ne 0\iff m\ne 2$

Áp dụng hệ thức Viet ta được: $\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=2m\\ x_1{x}_2=4m-4\end{array}$

Theo đề bài ta có:

$\begin{array}{c}{x}_1^2+\left(x_1+x_2\right)x_2=12\\ \iff x_1^2+x_2^2+x_1{x}_2=12\\ \iff {\left(x_1+x_2\right)}^2-x_1{x}_2=12\\ \Rightarrow {\left(2m\right)}^2-\left(4m-4\right)=12\\ \iff 4m^2-4m-8=0\\ \iff m^2-m-2=0\\ \iff \left(m+1\right)\left(m-2\right)=0\iff [\begin{array}{c}m=-1\left(tm\right)\\ m=2\left(ktm\right)\end{array}\end{array}$

Vậy với m=-1 thì phương trình có hai nghiệm $x_1;x_2$ phân biệt thỏa mãn $x_1^2+\left(x_1+x_2\right)x_2=12$

2. Gọi chiều dài của thửa ruộng là $x\left(m\right)(x>2)$

Chiều rộng của thửa ruộng là $y\left(m\right)(y>2)$

Diện tích của thửa ruộng là $xy\left(m^2\right)$

Theo đề bài ta có hệ phương trình: $\left(\begin{array}{c}\left(x-2\right)\left(y+2\right)=xy+30\\ \left(x+5\right)\left(y-2\right)=xy-20\end{array}\right)$

$\iff \left(\begin{array}{c}2x-2y=34\\ -2x+5y=-10\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}x=25\left(tm\right)\\ y=8\left(tm\right)\end{array}\right)$

Vậy thửa ruộng có chiều dài 25m, chiều rộng là 8m 

Diện tích thửa ruộng là $25.8=200\left(m^2\right)$

1, a) Xét (O)   ta có: 

$\widehat{ADO}={90}^0$( AD là tiếp tuyến của(O) )

$\widehat{AIO}={90}^0$ $\left(OI\perp AC\right)$

$\widehat{AEO}={90}^0(AE$là tiếp tuyến của (O)) 

$\to$5 điểm $A,D,I,E,O$cùng nằm trên đường tròn đường kính AO

b) Xét đường tròn đường kính AO 

Ta có: $\widehat{AID}=\widehat{AED}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn $\stackrel{⏜}{AD})$

$\widehat{AIE}=\widehat{ADE}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn $\stackrel{⏜}{AE})$

Mà $\widehat{AED}=\widehat{ADE}(\Delta ADE$ cân tại A do AD = AE là hai tiếp tuyến cắt nhau)

$\Rightarrow \widehat{AID}=\widehat{AIE}\Rightarrow IA$là tia phân giác của $\widehat{DIE}$

*)Xét $\Delta ABD$ và $\Delta ADC$  có:

$\widehat{DAC}$chung; $\widehat{ADB}=\widehat{ACD}($ góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn $\stackrel{⏜}{BD})$

$\Rightarrow \Delta ABD~\Delta ADC(g.g)\Rightarrow \frac{AB}{AD}=\frac{AD}{AC}\Rightarrow AB.AC=A{D}^2\left(dfcm\right)$

c, Ta có:$PD//IE\left(gt\right)\Rightarrow \frac{DP}{IE}=\frac{DK}{KE}$ (hệ quả Ta let ) (1)

Vì IA là tia phân giác $\widehat{DIE}\left(cmt\right)\Rightarrow IK$ là tia phân giác $\Delta DIE$

$\Rightarrow \frac{DK}{KE}=\frac{ID}{IE}$(tính chất tia phân giác ) (2)

Mà $IF\perp IA\left(OI\perp AC\right)\Rightarrow IF$ là đường phân giác ngoài $\Delta DIE\Rightarrow \frac{FD}{FE}=\frac{ID}{IE}\left(3\right)$

Xét $\Delta FEI$  có $DH//IE\left(gt\right)\Rightarrow \frac{DH}{IE}=\frac{FD}{FE}\left(4\right)$ (hệ quả Ta let)

Từ $\left(2\right),\left(3\right),\left(4\right)\Rightarrow \frac{DH}{IE}=\frac{DK}{KE}\left(5\right)$

Từ (1) và (5) $\Rightarrow \frac{DP}{IE}=\frac{DH}{IE}$ hay $DP=DH$

Vậy D là trung điểm của $HP\left(dfcm\right)$

Diện tích xung quanh hình trụ là $140\pi \left(c{m}^2\right)$

$\Rightarrow S_{xq}=2\pi Rh=140\pi \iff 2\pi R.7=140\pi \iff R=10\left(cm\right)$

Thể tích hình trụ là $V=\pi R^{2}h=\pi {.10}^2.7=700\pi \left(c{m}^3\right)$

a, Ta có: $\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)$

$\begin{array}{c}=1+\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+1+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}+1\\ =\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+3\end{array}$

Áp dụng bđt Cô si cho các số $x,y,z>0$

$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge 2\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{x}}=2$

$\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\ge 2 \frac{y}{z}+\frac{z}{y}\ge 2$

Suy ra $\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge 2+2+2+3=9\left(dfcm\right)$

Dấu "="  xảy ra $\iff x=y=z>0$

b, Áp dụng câu a $\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge \frac{9}{x+y+z}$

Ta có: $\frac{ab}{a+3b+2c}=\frac{ab}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)+2b}\le \frac{1}{9}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}+\frac{a}{2}\right)$

Tương tự:

$\begin{array}{c}\frac{bc}{2a+b+3c}=\frac{bc}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)+2c}\le \frac{1}{9}\left(\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}+\frac{b}{2}\right)\\ \frac{ac}{3a+2b+c}=\frac{ac}{\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+2a}\le \frac{1}{9}\left(\frac{ac}{a+b}+\frac{ac}{b+c}+\frac{c}{2}\right)\end{array}$

Suy ra

$A\le \frac{1}{9}.\left(\frac{ac+bc}{a+b}+\frac{ab+ac}{b+c}+\frac{ab+bc}{a+c}\right)=\frac{a+b+c}{6}=\frac{6}{6}=1\Rightarrow A\le 1$

Vậy $MaxA=1\iff a=b=c=2$