Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2021 có đáp án (Phần 1) (Đề 1)

Giải các phương trình và hệ phương trình sau

$\begin{array}{c}a)\left(\sqrt{2}+1\right)x-\sqrt{2}=2\iff \left(\sqrt{2}+1\right)x=2+\sqrt{2}\\ \Rightarrow x=\frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}\end{array}$

b) $x^4+x^2-6=0$

Đặt $x^2=t\left(t\ge 0\right)$. Nên phương trình thành :

$\begin{array}{c}{t}^2+t-6=0\iff t^2+3t-2t-6=0\iff t\left(t+3\right)-2\left(t+3\right)=0\\ \iff \left(t+3\right)\left(t-2\right)=0\iff \left(\begin{array}{c}t=-3\left(ktm\right)\\ t=2\Rightarrow x^2=2\Rightarrow x=\pm \sqrt{2}\end{array}\right)\end{array}$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S=\left(\pm \sqrt{2}\right)$

$c)\{\begin{array}{c}2x+y=11\\ x-y=4\end{array}\iff \{\begin{array}{c}3x=15\\ y=x-4\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x=3\\ y=1\end{array}$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $\left(5;1\right)$

a) Học sinh tự vẽ đồ thị $\left(P\right),\left(d\right)$

b) Ta có phương trình hoành độ giao điểm $\left(P\right)$và $\left(d\right)$:

$\begin{array}{c}{x}^2=x+2\iff x^2-x-2=0\iff x^2-2x+x-2=0\\ \iff \left(x-2\right)\left(x+1\right)=0\iff \left(\begin{array}{c}x=2\Rightarrow y=4\\ x=-1\Rightarrow y=1\end{array}\right)\end{array}$

Vậy đường thẳng $\left(d\right)$cắt $\left(P\right)$tại hai điểm phân biệt $\left(-1;1\right),\left(2;4\right)$

a) $x^2-2\left(m-1\right)x+m^2-3m-4=0(*)$

Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2\iff \Delta \text{'}>0$

$\begin{array}{c}\iff {\left(m-1\right)}^2-\left(m^2-3m-4\right)>0\\ \iff m^2-2m+1-m^2+3m+4>0\iff m>-5\end{array}$

Vậy với $m>-5$thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $x_1;x_2$

b) Với $m>-5$thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $x_1;x_2$. Theo hệ thức Vi – et ta có :

$\left(\begin{array}{c}{x}_1+x_2=2\left(m-1\right)=2m-2\\ x_1{x}_2=m^2-3m-4\end{array}\right)$

Theo đề bài ta có :

$\begin{array}{c}A=x_1^2+x_2^2-x_1{x}_2={\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2-x_1{x}_2={\left(x_1+x_2\right)}^2-3x_1{x}_2\\ =4{\left(m-1\right)}^2-3\left(m^2-3m-4\right)=4\left(m^2-2m+1\right)-3m^2+9m+12\\ =4m^2-8m+4-3m^2+9m+12=m^2+m+16\end{array}$

$\begin{array}{c}A=18\iff m^2+m+16=18\\ \iff m^2+m-2=0\iff \left(m-1\right)\left(m+2\right)=0\iff \left(\begin{array}{c}m=1\\ m=-2\end{array}\right)\end{array}$

Vậy $m\in \left(-2;1\right)$thỏa mãn bài toán

a)    Chứng minh tứ giác $ABEF$nội tiếp

Ta có $\angle ABD$là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính $AD$

$\Rightarrow \angle ABD=90°hay\angle ABE=90°$

Xét tứ giác $ABEF$có $\angle ABE+\angle AFE=90°+90°=180°$

$\Rightarrow \angle ABEF$là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng2 góc đối diện bằng $180°$

b) Chứng minh $BD$là tia phân giác $\angle CBF$

Vì $ABEF$là tứ giác nội tiếp (cmt)$\Rightarrow \angle FBE=\angle FAE$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $EF$ hay $\angle CAD=\angle FBD$

Lại có : $\angle CBD=\angle CAD$(hai góc nội tiếp cùng chắn cung $CD$

$\Rightarrow \angle CBD=\angle FBD\left(=\angle CAD\right)\Rightarrow BD$là phân giác của $\angle FBC$

Chiều rộng của một viên gạch là : $6:4=\mathrm{1,5}\left(dm\right)$

Chiều dài của một viên gạch : $10:5=2\left(dm\right)$

Diện tích của một viên gạch: $\mathrm{1,5.2}=3\left(d{m}^2\right)$

Tổng số viên gạch để xây bức tường là : $2+3+4+5=14$(viên)

Diện tích của bức tường là : $3.14=42\left(d{m}^2\right)$

Diện tích tam giác trong hình là : $\frac{1}{2}\mathrm{.6.10}=30\left(d{m}^2\right)$

Diện tích phần son màu là : $42-30=12\left(d{m}^2\right)$