Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2021 có đáp án (Phần 1) (Đề 14)

a) Ta có : $A=\sqrt{4}+\sqrt{3}.\sqrt{12}=2+\sqrt{36}=2+6=8$

Vậy A = 8

b) Với $x>\mathrm{0,}x\ne 4$ thì

$\begin{array}{c}B=\left(\frac{\sqrt{x}}{2+\sqrt{x}}+\frac{x+4}{4-x}\right):\frac{x}{x-2\sqrt{x}}\\ =\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)-x-4}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}.\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}{x}=\frac{x-2\sqrt{x}-x-4}{\left(\sqrt{x}+2\right).\sqrt{x}}\\ =\frac{-2\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right).\sqrt{x}}=\frac{-2}{\sqrt{x}}\end{array}$

$\begin{array}{c}B<-\sqrt{x}\iff \frac{-2}{\sqrt{x}}<-\sqrt{x}\iff \frac{2}{\sqrt{x}}-\sqrt{x}>0\\ \iff \frac{2-x}{\sqrt{x}}>0\iff 2-x>0\iff x<2\end{array}$

Kết $B<-\sqrt{x}$hợp với điều kiện $\Rightarrow 0<x<2$thì $B<-\sqrt{x}$

a) +)Vẽ đồ thị (P)

Parabol $\left(P\right):y=x^2$ có bề lõm hướng lên và nhận Oy làm trục đối xứng

Hệ số $a=1>0$ nên hàm số đồng biến khi $x>0$ và nghịch biến khi $x<0$

Ta có bảng giá trị sau :

$\begin{array}{c}x-2-1012\\ y=x^{2}41014\end{array}$

$\Rightarrow Parabol\left(P\right):y=x^2$ đi qua các điểm $\left(-2;4\right),\left(-1;1\right),\left(0;0\right),\left(1;1\right),\left(2;4\right)$

Đồ thị parabol (P):y=x2

+) Chứng minh rằng (d) luôn đi qua điểm C(2;4)

Thay xx= 2; y = 4 vào phương trình $\left(d\right):y=kx-2k+4$ ta được:

$4=2k-2k+4\iff 4=4\left(luondung\right)$

Vậy (d) luôn đi qua điêm C(2;4) với mọi m

b) Vì $∆HBC$ vuông tại H nên ta có : $S_{\Delta HBC}=\frac{1}{2}HB.HC\le \frac{1}{4}\left(H{B}^2+H{C}^2\right)$

Áp dụng định lý Pytago ta có : $H{B}^2+H{C}^2=B{C}^2=6^2=36\Rightarrow S_{\Delta HBC}\le \frac{1}{4}.36=9\left(dfcm\right)$

Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi $HB=HC\iff \Delta HBC$ vuông cân tại H.

a) Thay m= 2 vào phương trình (*) ta có :

          $x^2+4\left(2-1\right)x-12=0\iff x^2+4x-12=0$

Ta có : $\Delta \text{'}=2^2+12=16=4^2>0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt

$\left(\begin{array}{c}{x}_1=-2+4=2\\ x_2=-2-4=-6\end{array}\right)$

Vậy với m = 2 thì tập nghiệm của phương trình (*) là $S=\left(2;-6\right)$

b) Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2\iff \Delta \text{'}>0$

$\iff 4{\left(m-1\right)}^2+12>0$ (luôn đúng với mọi m)

Nên phương trình $(*)$ luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ với mọi m

Khi đó, áp dụng định lý Viet, ta có: $\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=\frac{-b}{a}=4\left(1-m\right)\left(1\right)\\ x_1{x}_2=\frac{c}{a}=-12\left(2\right)\end{array}$

Vì $x_2$là nghiệm của phương trình (*) nên :

$\begin{array}{c}{x}_2^2+4\left(m-1\right)x_2-12=0\iff x_2^2+4m{x}_2-4x_2-12=0\\ \iff x_2^2+4\left(m{x}_2-4\right)-4x_2+4=0\\ \iff 4\left(4-m{x}_2\right)=x_2^2-4x_2+4={\left(x_2-2\right)}^2\\ \iff 2\sqrt{4-m{x}_2}=\sqrt{{\left(x_2-2\right)}^2}=\left|x_2-2\right|\end{array}$

Khi đó ta có :

$\begin{array}{c}4\left|x_1-2\right|\sqrt{4-m{x}_2}={\left(x_1+x_2-x_1{x}_2-8\right)}^2\\ \iff 2\left|x_1-2\right|\left|x_2-2\right|={\left[4\left(1-m\right)+12-8\right]}^2\\ \iff 2\left|x_1{x}_2-2\left(x_1+x_2\right)+4\right|={\left(8-4m\right)}^2\\ \iff 2\left|-12-2.4\left(1-m\right)+4\right|=64-64m+16m^2\\ \iff \left|-16+8m\right|=8\left(m^2-4m+4\right)\\ \iff \left|m-2\right|={\left(m-2\right)}^2\end{array}$

$\begin{array}{c}\Rightarrow {\left(m-2\right)}^2={\left(m-2\right)}^4\iff {\left(m-2\right)}^2.\left[{\left(m-2\right)}^2-1\right]=0\\ \iff [\begin{array}{c}m-2=0\\ m-2=1\\ m-2=-1\end{array}\iff [\begin{array}{c}m=2\\ m=3\\ m=1\end{array}\end{array}$

Vậy $m\in \left\{1;2;3\right\}$là các giá trị thỏa mãn bài toán

a) Gọi số lớn là $x\left(x>\mathrm{15,}x\in \mathbb{N}\right)$ , số bé là $y\left(y\in \mathbb{N}\right)$

Ta có tổng của hai số là 2021 nên ta có phương trình x + y = 2021

Hiệu của số lớn và số bé là  15 nên ta có phương trình x - y = 15

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

$\left(\begin{array}{c}x+y=2021\\ x-y=15\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}2x=2036\\ y=x-15\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}x=1018\\ y=1003\end{array}\right)\left(tm\right)$

Vậy số lớn là 1018 số bé là 1003

Theo kế hoạch, gọi số người được xét nghiệm trong một giờ là x (người)

$\left(x\in \mathbb{N}*,x<12000\right)$

Theo kế hoạch địa phương xét nghiệm 12000 người hết $\frac{12000}{x}$(giờ)

Thực tế, số người được xét nghiệm trong 1 giờ là x + 1000 (người)

Thực tế, địa phương đó xét nghiệm 12000 người hết $\frac{12000}{x+1000}$ (giờ)

Vì địa phương này hoàn thành sớm hơn kế hoạch 16 giờ nên ta có phương trình :

$\begin{array}{c}\frac{12000}{x}-\frac{12000}{x+1000}=16\\ \iff 12000x+12000000-12000x=16x\left(x+1000\right)\\ \iff 16x^2+16000x-12000000=0\\ \iff x^2+1000x-750000=0\\ \Delta ={1000}^2+4.750000=4000000\Rightarrow \sqrt{\Delta }=2000\end{array}$

Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt :

$[\begin{array}{c}{x}_1=\frac{-1000+2000}{2}=500\left(tm\right)\\ x_2=\frac{-1000-2000}{2}=-1500\left(ktm\right)\end{array}$

Vậy theo kế hoạch địa phương này cần $\frac{12000}{500}=24$(giờ) để xét nghiệm xong.

Ta có : BD, CE là các đường cao của $∆ABC$ nên$\left(\begin{array}{c}BD\perp AC\\ CE\perp AB\end{array}\right)\Rightarrow \angle BDC=\angle BEC=90°$

$\Rightarrow BEDC$là tứ giác nội tiếp (tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn 1 cạnh đối diện dưới các bằng nhau)