Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2021 có đáp án (Phần 1) (Đề 26)

Vậy $Q=-4\sqrt{x}$với $x\ge \mathrm{0,}x\ne \frac{1}{4}$

Hai đường thẳng $\left(d\right),\left(d_1\right)$song song với nhau khi và chỉ khi

$\left(\begin{array}{c}m=1\\ 3m+2\ne 1\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}m=1\\ m\ne -\frac{1}{3}\end{array}\right)\iff m=1$

Vậy với m = 1 thì (d) và $\left(d_1\right)$song song với nhau

a) Với m = 1 phương trình đã cho trở thành $x^2-4x+1=0$

Ta có : $\Delta \text{'}=2^2-1=3>0$nên phương trình có hai nghiệm phân biệt

$[\begin{array}{c}{x}_1=\frac{2+\sqrt{3}}{1}=2+\sqrt{3}\\ x_2=\frac{2-\sqrt{3}}{1}=2-\sqrt{3}\end{array}$

Vậy khi m =1 tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{2\pm \sqrt{3}\right\}$

b) Ta có : $\Delta \text{'}={\left(m+1\right)}^2-m^2=2m+1$

Để phương trình đã cho có hai nghiệm $x_1,x_2$ thì $\Delta \text{'}\ge 0$

$\iff 2m+1\ge 0\iff m\ge -\frac{1}{2}$. Khi đó áp dụng định lý Vi-et ta có:

$\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=2\left(m+1\right)\\ x_1{x}_2=m^2\end{array}$. Theo bài ra ta có:

$\begin{array}{c}{x}_1^2+x_2^2+6=4x_1{x}_2\iff {\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2-4x_1{x}_2+6=0\\ \iff {\left(x_1+x_2\right)}^2-6x_1{x}_2+6=0\iff 4{\left(m+1\right)}^2-6m^2+6=0\\ \iff -2m^2+8m+10=0\end{array}$

Phương trình có dạng $a-b+c=0\Rightarrow [\begin{array}{c}m=-1\left(ktm\right)\\ m=-\frac{c}{a}=5\left(tm\right)\end{array}$

Vậy m = 5 thì thỏa đề

Gọi số tiền điện nhà bạn A phải trả trong tháng 4 là $x\left(x>0\right)$(đồng)

Số tiền điện nhà bạn B phải trả trong tháng 4 là $y\left(y>0\right)$(đồng)

Theo bài ta có tổng số tiền điện trong tháng 4 nhà bạn A và nhà bạn B phải trả là 560 000 đồng nên ta có phương trình $x+y=560000\left(1\right)$

Số tiền điện trong tháng 5 nhà bạn A phải trả là $x+30\%x=\mathrm{1,3}x$(đồng)

Số tiền điện trong tháng 5 nhà bạn B phải trả là $y+20\%y=\mathrm{1,2}y$(đồng)

Theo bài ta có tổng số tiền điện trong tháng 5 nhà bạn A và nhà bạn B phải trả là 701 000 đồng nên ta có phương trình: $\mathrm{1,3}x+\mathrm{1,2}y=701000\left(2\right)$

Từ (1), (2) ta có hệ phương trình $\left(\begin{array}{c}x+y=560000\\ \mathrm{1,3}x+\mathrm{1,2}y=701000\end{array}\right)$$\iff \left(\begin{array}{c}x=290000\\ y=270000\end{array}\right)\left(tm\right)$

Vậy số tiền điện nhà bạn An phải trả trong tháng 4 là 290 000 đồng

Nhận thấy : $290000=100.1500+50.2000+10.4000$

Vậy số điện nhà bạn A dùng trong tháng 4 là :

          $100+50+10=160\left(k\text{W}h\right)$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC ta có :

$\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{A{B}^2}+\frac{1}{A{C}^2}\Rightarrow \frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}=\frac{25}{144}\Rightarrow AH=\sqrt{\frac{144}{25}}=\frac{12}{5}cm$

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông AHC ta có :

$\begin{array}{c}A{C}^2=A{H}^2+H{C}^2\Rightarrow 4^2={\left(\frac{12}{5}\right)}^2+H{C}^2\Rightarrow H{C}^2=16-\frac{144}{25}=\frac{256}{25}\\ \Rightarrow HC=\sqrt{\frac{256}{25}}=\frac{16}{5}cm\end{array}$

Vì tam giác AHC vuông tại H nên $S_{AHC}=\frac{1}{2}AH.HC=\frac{1}{2}.\frac{12}{5}.\frac{16}{5}=\frac{96}{25}\left(c{m}^2\right)$

Vì E là điểm chính giữa của cung BC nên $sd\stackrel{⏜}{BE}=sd\stackrel{⏜}{CE}$

$\Rightarrow \angle CAE=\angle BCE$(trong một đường tròn hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau)

* Ta có: $P=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}$

$\begin{array}{c}\Rightarrow P^2=\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)\le 3\left(a+b+b+c+c+a\right)=6.2021\\ =12126\left(BDTBunhiacopxki\right)\Rightarrow P^2\le 12126\Rightarrow P\le \sqrt{12126}\end{array}$

Dấu $"="$xảy ra $\iff 2021-c=2021-a=a+c\iff \left(\begin{array}{c}a=c\\ 2021-a=2a\end{array}\right)\iff a=b=c=\frac{2021}{3}$

Vậy $P_{\max }=\sqrt{12126}\iff a=b=c=\frac{2021}{3}$

*Tìm GTNN

$\left(\begin{array}{c}a,b,c\ge 0\\ a+b+c=2021\end{array}\right)$. Ta có: $2021\ge a+b\ge 0$

$\begin{array}{c}\sqrt{a+b}\left(\sqrt{2021}-\sqrt{a+b}\right)\ge 0\Rightarrow \sqrt{2021\left(a+b\right)}-\left(a+b\right)\ge 0\\ \Rightarrow \sqrt{a+b}\ge \frac{\sqrt{2021}}{2021}\left(a+b\right)\left(1\right)\end{array}$

Chứng minh tương tự :

$b+c\ge \frac{\sqrt{2021}}{2021}\left(b+c\right)\left(2\right),\sqrt{c+a}\ge \frac{\sqrt{2021}}{2021}\left(c+a\right)\left(3\right)$

Từ (1), (2), (3)$\Rightarrow P\ge \frac{\sqrt{2021}}{2021}.2\left(a+b+c\right)=2\sqrt{2021}$

Dấu $"="$xảy ra khi $\left(\begin{array}{c}a=2021\\ b=c=0\end{array}\right)$

Vậy $MinP=2\sqrt{2021}\iff \left(\begin{array}{c}a=2021\\ b=c=0\end{array}\right)$