Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2021 có đáp án (Phần 1) (Đề 30)

$a)x^2-6x=0\iff x\left(x-6\right)=0\iff \left(\begin{array}{c}x=0\\ x-6=0\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}x=0\\ x=6\end{array}\right)$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S=\left(0;6\right)$

Hàm số $y=\left(3m+10\right)x-m+2$ đồng biến trên R khi và chỉ khi $3m+10>0\iff m>\frac{-10}{3}$

Vậy hàm số đồng biến khi $m>-\frac{10}{3}$

Đường thẳng đi qua hai điểm M,N nên tọa độ của hai điểm này phải thỏa mãn phương trình y = ax + b . Khi đó ta có hệ phương trình

$\left(\begin{array}{c}a.\left(-1\right)+b=4\\ a.2+b=19\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}-a+b=4\\ 2a+b=19\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}3a=15\\ b=4+a\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}a=5\\ b=9\end{array}\right)$

Vậy đường thẳng cần tìm là y = 5x + 9

Gọi số ngày mà người thứ nhất, người thứ hai làm một mình thì hoàn thành công việc lần lượt là x, y (ngày) $\left(x,y\in \mathbb{N}*\right)$

$\Rightarrow$Trong một ngày, người thứ nhất, người thứ hai làm được lần lượt $\frac{1}{x};\frac{1}{y}$(công việc)

Họ cùng làm trong 4 ngày thì hoàn thành công việc nên ta có phương trình : $4\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=1\left(1\right)$

Sau khi làm chung 2 ngày, người thứ hai phải làm tiếp 6 ngày nữa thì mới xong công việc nên ta có phương trình $2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)+\frac{6}{y}=1\left(2\right)$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :

$\{\begin{array}{c}4\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=1\\ 2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)+\frac{6}{y}=1\end{array}\iff \{\begin{array}{c}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{4}\\ \frac{2}{x}+\frac{8}{y}=1\end{array}\iff \{\begin{array}{c}\frac{1}{x}=\frac{1}{6}\\ \frac{1}{y}=\frac{1}{12}\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x=6\left(tm\right)\\ y=12\left(tm\right)\end{array}$

Vậy mỗi người làm riêng thì người thứ nhất hoàn thành công việc trong 6 ngày và người thứ hai trong 12 ngày

a) Xét (O) ta có H là trung điểm của dây PQ

$\Rightarrow OH\perp PQ\Rightarrow \angle AHO=90°$(quan hệ giữa đường kính và dây cung)

Xét tứ giác AHON có : $\angle AHO+\angle ANO=90°+90°=180°$

$\Rightarrow$Tứ giác AHON là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng $180°$

b) Xét $\Delta APM$ và $\Delta AMQ$có :

$\angle A$ chung

$\angle AMP=\angle MQP$ (góc tạo bởi tiếp tuyến dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung MP)

$\Rightarrow \Delta APM\backsim \Delta AMQ(g.g)\Rightarrow \frac{AM}{AQ}=\frac{AP}{AM}\Rightarrow AP.AQ=A{M}^2\left(dfcm\right)$(1)

Xét $m+2=0\iff m=-2$. Thay vào phương trình đường thẳng $y=\left(m+2\right)x-2m-3$ ta được y = 1 khi đó, khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng y = 1 là 1

Xét $m+2\ne 0\iff m\ne -2$

Cho $x=0\Rightarrow y=-2m-3$

Cho $y=0\Rightarrow \left(m+2\right)x=2m+3\Rightarrow x=\frac{2m+3}{m+2}$

Giao điểm của đường thẳng với Ox, Oy lần lượt là các điểm $A\left(\frac{2m+3}{m+2};0\right),B\left(0;-2m-3\right)$

$\Rightarrow \{\begin{array}{c}OA=\left|\frac{2m+3}{m+2}\right|\\ OB=\left|2m+3\right|\end{array}$

Kẻ $OH\perp AB\Rightarrow OH$là khoảng cách từ O đến AB

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có :

$\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{O{B}^2}={\left(\frac{m+2}{2m+3}\right)}^2+\frac{1}{{\left(2m+3\right)}^2}=\frac{{\left(m+1\right)}^2+1}{{\left(2m+3\right)}^2}$

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có :

${\left(2m+3\right)}^2={\left[2\left(m+2\right)+1.\left(-1\right)\right]}^2\le \left(2^2+1^2\right)\left[{\left(m+2\right)}^2+{\left(-1\right)}^2\right]=5\left[{\left(m+2\right)}^2+1\right]$

$\Rightarrow \frac{1}{O{H}^2}=\frac{{\left(m+2\right)}^2+1}{{\left(2m+3\right)}^2}\ge \frac{{\left(m+2\right)}^2+1}{5\left[{\left(m+2\right)}^2+1\right]}=\frac{1}{5}\Rightarrow OH\le \sqrt{5}$

Vậy $O{H}_{\max }=\sqrt{5}\iff \frac{m+2}{-1}=\frac{2}{1}\iff m=-4$

Vậy m = -4 thỏa mãn bài toán

$\sqrt{ab}=\frac{a+b}{a-b}\Rightarrow \sqrt{ab}\left(a-b\right)=a+b$và $a-b>0$

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có :

$P=ab+\frac{a-b}{\sqrt{ab}}\ge 2\sqrt{ab.\frac{a-b}{\sqrt{ab}}}=2\sqrt{\sqrt{ab}.\left(a-b\right)}=2\sqrt{a+b}$

Lại có:

$\begin{array}{c}{\left(a+b\right)}^2={\left(a-b\right)}^2+4ab\ge 2\sqrt{{\left(a-b\right)}^2.4ab}=2\sqrt{{\left(2\sqrt{ab}\left(a-b\right)\right)}^2}\\ =4\sqrt{ab}\left(a-b\right)=4\left(a+b\right)\end{array}$

$\Rightarrow a+b\ge 4$ (chia hai vế cho $a+b)\Rightarrow P\ge 2\sqrt{4}=4$. Vậy

$P_{\min }=4\iff \left(\begin{array}{c}\sqrt{ab}=\frac{a+b}{a-b}\\ ab=\frac{a-b}{\sqrt{ab}}\\ a+b=4\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}ab=\frac{{\left(a-b\right)}^2}{a+b}\\ a+b=4\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}ab=\frac{{\left(a+b\right)}^2-4ab}{a+b}\\ a+b=4\end{array}\right)$

$\iff \left(\begin{array}{c}ab=a+b-\frac{4ab}{a+b}\\ a+b=4\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}ab=4-\frac{4ab}{4}\\ a+b=4\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}ab=2\\ a+b=4\end{array}\right)$  

$\iff a,b$ là nghiệm của phương trình :

$x^2-4x+2=0\iff \left(\begin{array}{c}{x}_1=2+\sqrt{2}\\ x_2=2-\sqrt{2}\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}\left(\begin{array}{c}a=2+\sqrt{2}\\ b=2-\sqrt{2}\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}a=2-\sqrt{2}\\ b=2+\sqrt{2}(ktmdoa>b)\end{array}\right)\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}a=2+\sqrt{2}\\ b=2-\sqrt{2}\end{array}\right)$