Đề thi giữa kì 1 Toán 12 Cánh diều – Đề 02 (có đáp án)

a) S, b) Đ, c) S, d) Đ.

Hướng dẫn giải

– Quan sát hình vẽ, ta thấy:

Hàm số đã cho có tập xác định là $\mathbb{R}\backslash \left\{-2\right\}$.

Trên các khoảng $\left(-\infty ;-3\right)$ và $\left(-1;+\infty \right)$, đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải nên hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng này. 

Trên các khoảng $\left(-3;-2\right)$ và $\left(-2;-1\right)$, đồ thị hàm số đi xuống từ trái qua phải nên hàm số đã cho nghịch biến trên mỗi khoảng này. 

Vậy ý) a sai.

– Hàm số đã cho đạt cực đại tại $x=-3$; đạt cực tiểu tại $x=-1$, do đó ý b) đúng.

– Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng $x=-2$, do đó ý c) sai.

– Vì $x=-2$ là tiệm cận đứng nên $n=2$. Khi đó, $y=f\left(x\right)=\frac{a{x}^2+bx+c}{x+2}$.

Ta có $y^{\prime }=\frac{a{x}^2+4ax+2b-c}{{\left(x+2\right)}^2}$; $y^{\prime }=0\iff a{x}^2+4ax+2b-c=0$ (*).

$x=-1$ là một nghiệm của phương trình (*), do đó $-3a+2b-c=0$.

Các điểm $\left(-1;1\right)$, $\left(-3;-3\right)$ thuộc đồ thị hàm số đã cho nên tọa độ các điểm này thỏa mãn hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{a{x}^2+bx+c}{x+2}$.

Khi đó, ta có hệ phương trình sau: $\{\begin{array}{l}-3a+2b-c=0\\ a-b+c=1\\ -9a+3b-c=-3\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}a=1\\ b=3\\ c=3\end{array}$.

Vậy công thức xác định hàm số đã cho là $y=\frac{x^2+3x+3}{x+2}$. Do đó, ý) d đúng.

a) Đ, b) S, c) S, d) S.

Hướng dẫn giải

Xét hàm số $y=f\left(x\right)=x^3-3x^2-9x+5$.

– Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$.

– Ta có $y^{\prime }=3x^2-6x-9$; $y^{\prime }=0$ khi $x=-1$ hoặc $x=3$.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

– Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $\left(-\infty ;-1\right)$ và $\left(3;+\infty \right)$; nghịch biến trên khoảng $\left(-1;3\right)$. Do đó, ý a) đúng.

– Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại $x=3$, $y_{CT}=-22$; đạt cực đại tại . Do đó, ý b) sai.

– Với $x=0$ thì $y=5$; với $x=1$ thì $y=-6$; với $x=-1$ thì $y=10$.

Do đó, đồ thị hàm số đã cho đi qua các điểm $\left(0;5\right),\left(1;-6\right),\left(-1;10\right)$.

Do đó, ý c) sai.

– Từ bảng biến thiên ta suy ra đường thẳng $y=-22$ cắt đồ thị hàm số đã cho tại 2 điểm phân biệt. Do đó, ý d) sai.

a) S,b) Đ,c) Đ,d) S.

Hướng dẫn giải

– Ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}$ nên ý a) sai.

– Vì $O$ là tâm hình bình hành $ABCD$ nên $O$ là trung điểm của $AC$ và $BD$.

Khi đó, $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0};\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$, suy ra $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$.

Vậy ý b) đúng.

– Ta có $\{\begin{array}{l}\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}=2\overrightarrow{SO}\\ \overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=2\overrightarrow{SO}\end{array}$, do đó $\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}=\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}$ nên ý c) đúng.

– Ta có $\overrightarrow{GS}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$

$\iff \overrightarrow{GS}+\left(\overrightarrow{<}/span><span>GO+\overrightarrow{OA}\right)+\left(\overrightarrow{GO}+\overrightarrow{OB}\right)+\left(\overrightarrow{GO}+\overrightarrow{OC}\right)+\left(\overrightarrow{GO}+\overrightarrow{OD}\right)=\overrightarrow{0}$

$\iff \overrightarrow{GS}+4\overrightarrow{GO}+\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}\right)=\overrightarrow{0}$

$\iff \overrightarrow{GS}+4\overrightarrow{GO}=\overrightarrow{0}$$\iff \overrightarrow{GS}=4\overrightarrow{OG}$.

Vậy ý d) sai.

a) Đ, b) S, c) S, d) Đ.

Hướng dẫn giải

– Ta có: $\overrightarrow{B^{\prime }B}-\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{B^{\prime }B}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{B^{\prime }D}$. Do đó, ý a) đúng.

– Theo quy tắc hình hộp, ta có: $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{B{D}^{\prime }}\ne \overrightarrow{BD}$. Vậy ý b) sai.

– Ta có: $\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{C^{\prime }A}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{C^{\prime }A}=\overrightarrow{C^{\prime }A}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{C^{\prime }C}$.

Do đó, $\left|\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{C^{\prime }A}\right|=\left|\overrightarrow{C{C}^{\prime }}\right|=C{C}^{\prime }=a$. Vậy ý c) sai.

–

Vì $A{C}^{\prime }$ là đường chéo của hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng $a$ nên $A{C}^{\prime }=a\sqrt{3}$.

Ta có: $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}-\overrightarrow{AM}$$=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{B{B}^{\prime }}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$.

Suy ra ${\overrightarrow{MN}}^2={\left(\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{B{B}^{\prime }}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}\right)}^2$

$={\overrightarrow{A</span><span>B}}^2+\frac{1}{4}{\overrightarrow{B{B}^{\prime }}}^2+\frac{1}{4}{\overrightarrow{AD}}^2+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{B{B}^{\prime }}-\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}-\frac{1}{2}\overrightarrow{B{B}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{AD}$

$=a^2+\frac{1}{4}{a}^2+\frac{1}{4}{a}^2+0-0-\frac{1}{2}\cdot 0=\frac{3}{2}{a}^2$.

Do đó, ${\left|\overrightarrow{MN}\right|}^2={\overrightarrow{MN}}^2=\frac{3}{2}{a}^2$, suy ra $\left|\overrightarrow{MN}\right|=\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$.

Theo quy tắc hình hộp, ta có: $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$.

Khi đó, \(\overrightarrow {AC'}  \cdot \overrightarrow {MN}  = \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AA'} } \right) \cdot \left( {\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {BB'}  - \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} } \right)\)

$={\overrightarrow{AB}}^2+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{B{B}^{\prime }}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}</span><span>\cdot \overrightarrow{B{B}^{\prime }}-\frac{1}{2}{\overrightarrow{AD}}^2$$+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{A{A}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{B{B}^{\prime }}-\frac{1}{2}\overrightarrow{A{A}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{AD}$

$={\overrightarrow{AB}}^2-\frac{1}{2}{\overrightarrow{AD}}^2+\frac{1}{2}\overrightarrow{A{A}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{B{B}^{\prime }}$

$=a^2-\frac{1}{2}{a}^2+\frac{1}{2}{a}^2=a^2$.

Vậy $\cos \left(\overrightarrow{MN},\overrightarrow{A{C}^{\prime }}\right)=\frac{\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{A{C}^{\prime }}}{\left|\overrightarrow{MN}</span><span>\right|\cdot \left|\overrightarrow{A{C}^{\prime }}\right|}=\frac{a^2}{\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\cdot a\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{3}$. Do đó, ý d) đúng.