Đề thi giữa kì 1 Toán 12 Cánh diều – Đề 04 (có đáp án)

a) Đ, b) S, c) S, d) Đ.

Hướng dẫn giải

– Từ bảng biến thiên, ta thấy $f^{\prime }\left(x\right)>0$ với mọi $x\in \left(-\infty ;-4\right)\cup \left(0;+\infty \right)$, do đó hàm số $y=f\left(x\right)$ đồng biến trên mỗi khoảng $$\left(-\infty ;-4\right)$$ và $\left(0;+\infty \right)$, vậy ý a) đúng.

– Hàm số đạt cực đại tại $x=-4$, ; hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$, $y_{CT}=2$, do đó ý b) sai.

– Hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên $\mathbb{R}\backslash \left\{-2\right\}$ nên ý c) sai.

– Xét hàm số $y=\frac{x^2+2x+4}{x+2}$, ta có:

+ Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}\backslash \left\{-2\right\}$.

+ Có $y^{\prime }=\frac{x^2+4x}{{\left(x+2\right)}^2}$; $y^{\prime }=0$ khi $x=-4$ hoặc $x=0$.

+ Trên các khoảng $$\left(-\infty ;-4\right)$$ và $\left(0;+\infty \right)$, $y^{\prime }>0$.

   Trên các khoảng $\left(-4;-2\right)$ và $\left(-2;0\right)$, $y^{\prime }<0$.

+ Hàm số đạt cực đại tại $x=-4$, ; hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$, $y_{CT}=2$.

+ Đường thẳng $x=-2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy bảng biến thiên đã cho là bảng biến thiên của hàm số $y=\frac{x^2+2x+4}{x+2}$ nên ý d) đúng.

a) Đ,           b) S,            c) Đ,            d) S.

Hướng dẫn giải

Xét hàm số $y=\frac{x^2-2x-3}{x-2}=x-\frac{3}{x-2}$.

– Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}\backslash \left\{2\right\}$.

– Ta có $y^{\prime }=1+\frac{3}{{\left(x-2\right)}^2}$; $y^{\prime }>0$ với mọi $x\ne 2$.

– Hàm số đồng biến trên từng khoảng $\left(-\infty ;2\right)$ và $\left(2;+\infty \right)$. Do đó, ý a) đúng.

– Hàm số không có cực trị. Do đó, ý b) sai.

– Tiệm cận: $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }y=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\left(x-\frac{3}{x-2}\right)=+\infty ;\underset{x\to 2^{+}}{\lim }y=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\left(x-\frac{3}{x-2}\right)=-\infty$;

                   $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(y-x\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(-\frac{3}{x-2}\right)=0;\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(y-x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(-\frac{3}{x-2}\right)=0$.

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=2$ và tiệm cận xiên là đường thẳng $y=x$. Vậy tâm đối xứng của đồ thị hàm số là giao điểm $I\left(2;2\right)$ của hai đường tiệm cận nên ý c) đúng.

– Với $x\in \mathbb{Z}\backslash \left\{2\right\}$ thì $y\in \mathbb{Z}$ khi và chỉ khi $\frac{3}{x-2}\in \mathbb{Z}$, tức là $x-2\in U\left(3\right)=\left\{\pm 1;\pm 3\right\}$.

Ta có:

$x-2$	$-3$	$-1$	$1$	$3$
$x$	$-1$	$1$	$3$	$5$
$y=x-\frac{3}{x-2}$	$0$	$4$	$0$	$4$

 

Vậy có 4 điểm thuộc đồ thị hàm số có tọa độ nguyên nên ý d) sai.

. a) S,          b) S,            c) Đ,            d) S.

Hướng dẫn giải

– Vì $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là hình hộp chữ nhật nên $A^{\prime }DC{B}^{\prime }$ là hình bình hành.

Do đó, $\overrightarrow{A^{\prime }D}=\overrightarrow{B^{\prime }C}$.

Mà hai vectơ $\overrightarrow{B^{\prime }C}$ và $\overrightarrow{B{C}^{\prime }}$ không cùng phương nên hai vectơ $\overrightarrow{A^{\prime }D}$ và $\overrightarrow{B{C}^{\prime }}$ cũng không cùng phương. Vậy ý a) sai.

– Theo quy tắc ba điểm, ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}\ne \overrightarrow{DA}$ nên ý b) sai.

– Do $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là hình hộp chữ nhật nên ta có $\overrightarrow{A^{\prime }A}=\overrightarrow{C^{\prime }C}$.

Áp dụng quy tắc hình hộp cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có:

$\overrightarrow{C^{\prime }A}=\overrightarrow{C^{\prime }{B}^{\prime }}+\overrightarrow{C^{\prime }{D}^{\prime }}+\overrightarrow{C^{\prime }C}=\overrightarrow{C^{\prime }{B}^{\prime }}+\overrightarrow{C^{\prime }{D}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }A}$. Vậy ý c) đúng.

– Ta có $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}$ nên $\left(\overrightarrow{AD},\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}\right)=\left(\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }},\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}\right)=\widehat{B^{\prime }{A}^{\prime }{D}^{\prime }}=90^{\circ }$. Vậy ý d) sai.

a) S, b) Đ, c) S, d) Đ.

Hướng dẫn giải

Vì $S.ABCD$ là hình chóp tứ giác đều nên đáy $ABCD$ là hình vuông.

Suy ra tâm $O$ là trung điểm của các đường chéo $AC$ và $BD$.

Do đó, $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$.

Vậy $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$ nên ý a) sai.

Với điểm $S$, ta có: $\{\begin{array}{l}\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=2\overrightarrow{SO}\\ \overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}=</span><span>2\overrightarrow{SO}\end{array}$. Suy ra $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}$ nên ý b) đúng.

Tứ giác $ABCD$ là hình vuông có độ dài mỗi cạnh là $a$ nên độ dài đường chéo $AC$ là $a\sqrt{2}$. Tam giác $SAC$ có $SA=SC=a$ và $AC=a\sqrt{2}$ nên tam giác $SAC$ vuông cân tại $S$, suy ra $\widehat{SAC}=45^{\circ }$. Do đó, $\left(\overrightarrow{SC},\overrightarrow{AC}\right)=180^{\circ }-\widehat{SAC}=180^{\circ }-45^{\circ }=135^{\circ }$.

Suy ra $\overrightarrow{SA}\cdot \overrightarrow{AC}=\left|\overrightarrow{SA}\right|\cdot \left|\overrightarrow{AC}\right|\cdot \cos 135^{\circ }=a\cdot a\sqrt{2}\cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-a^2$.

Vậy ý c) sai và ý d) đúng.