Đề thi giữa kì 1 Toán 12 Cánh diều – Đề 05 (có đáp án)

 a) S, b) Đ, c) Đ, d) Đ.

Hướng dẫn giải

– Quan sát bảng biến thiên, ta thấy hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng $$\left(0;1\right)$$ và $\left(3;+\infty \right)$, do đó ý a) sai.

– Ta có $f^{\prime }\left(x\right)$ đổi dấu từ “–” sang “+” tại các điểm $x=0$, $x=3$ và đổi dấu từ “+” sang “–” tại điểm $x=1$. Vậy hàm số $y=f\left(x\right)$ có 3 điểm cực trị nên ý b) đúng.

– Hàm số $y=f\left(x\right)$ có giá trị nhỏ nhất bằng $0$ tại $x=0$ và $x=3$ nên ý c) đúng.

– Hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên $\mathbb{R}$ và $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ nên đồ thị hàm số này không có đường tiệm cận. Vậy ý d) đúng.

a) S, b) S, c) Đ, d) Đ.

Hướng dẫn giải

Xét hàm số $y=e^x-x+3$.

– Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$.

– Ta có $y^{\prime }=e^x-1$; $y^{\prime }=0$ khi $x=0$.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

– Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;0\right)$ và đồng biến trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$. Do đó, ý a) sai.

– Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại $x=0$ và không có cực đại. Do đó, ý b) sai.

– Với $x=0$, ta có $y=e^0-0+3=4$ nên đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm $\left(0;4\right)$.

Từ đó suy ra đồ thị hàm số đã cho không đi qua gốc tọa độ.

Vậy ý c) và ý d) đúng.

a) Đ, b) S, c) S, d) Đ.

Hướng dẫn giải

– Vì $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là hình hộp nên các mặt của hình hộp này là hình bình hành.

Do đó, $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}$. Vậy ý a) đúng.

– Ta có $\overrightarrow{DB}=-\overrightarrow{BD}$ và $\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{D^{\prime }{B}^{\prime }}=-\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}$.

Vậy các vectơ đối của vectơ $\overrightarrow{DB}$ là $$\overrightarrow{BD},\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}$$. Do đó ý b) sai.

– Vì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}$ nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}+\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}=2\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}$.

Vậy ý c) sai.

– Ta có $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }},\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{C^{\prime }{A}^{\prime }}$. Suy ra $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}-\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}-\overrightarrow{C^{\prime }{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$.

Vậy ý d) đúng.

a) Đ, b) S, c) S, d) Đ.

Hướng dẫn giải

– Theo quy tắc ba điểm, ta có:

\(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {CD} \)$=\overrightarrow{AD}+\left(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DB}\right)=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}$.

Vậy ý a) đúng.

– Do $AB,AC,AD$ đôi một vuông góc nên ta có:

$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}=0$.

Vậy ý) b sai.

– Vì $AB=1$ nên ${\overrightarrow{AB}}^2=1$.

Vì $M$ là trung điểm của $BC$ nên ta có:

$\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\cdot \left(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\right)$

$=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}-{\overrightarrow{AB}}^2+\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}\right)$

$=\frac{1}{2}\left(0-1+0-0\right)=-\frac{1}{2}$.

Vậy ý c) sai.

– Ta tính được $AM=\frac{\sqrt{2}}{2},BD=\sqrt{2}$, suy ra

\(\cos \left( {\overrightarrow {AM} ,\,\overrightarrow {BD} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AM}  \cdot \overrightarrow {BD} }}{{\left| {\overrightarrow {AM} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BD} } \right|}} = \frac{{ - \frac{1}{2}}}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2} \cdot \sqrt 2 }} =  - \frac{1}{2}\).

Vậy $\left(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{BD}\right)=120^{\circ }$. Do đó, ý d) đúng.