Đề thi giữa kì 1 Toán 12 Cánh diều – Đề 06 (có đáp án)

a) Đ, b) S, c) S, d) Đ.

Hướng dẫn giải

Quan sát bảng biến thiên, ta thấy:

– Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng $\left(-\infty ;2\right)$ và $\left(2;+\infty \right)$. Vậy ý a) đúng.

– Hàm số đã cho không có cực trị. Vậy ý b) sai. 

– Trên khoảng $\left(2;+\infty \right)$, ta có $1>y$, tuy nhiên không tồn tại giá trị của $x$ để $y=1$ nên hàm số đã cho không có giá trị lớn nhất trên khoảng này. Do đó, ý c) sai.

– Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=2$ và tiệm cận ngang là đường thẳng $y=1$ nên ta có hệ sau: $\{\begin{array}{l}-\frac{c}{b}=2\\ \frac{a}{b}=1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}c=-2b\\ a=b\end{array}$.

Khi đó, $a+b+c=b+b+\left(-2b\right)=0$.

Vậy ý d) đúng.

a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ.

Hướng dẫn giải

Xét hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{-x^2+x+1}{x+1}=-x+2-\frac{1}{x+1}$.

– Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}\backslash \left\{-1\right\}$.

– Ta có $y^{\prime }=\frac{-x^2-2x}{{\left(x+1\right)}^2}$; $y^{\prime }=0$ khi $x=-2$ hoặc $x=0$.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

– Hàm số đã cho nghịch biến trên từng khoảng $\left(-\infty ;-2\right)$ và $\left(0;+\infty \right)$. Do đó, ý a) đúng.

– Hàm số đã cho đạt cực đại tại $x=0$, ; đạt cực tiểu tại $x=-2$, $y_{CT}=5$. 

Khi đó, điểm cực đại của đồ thị $\left(C\right)$ là $\left(0;1\right)$ thuộc trục tung. Vậy hai điểm cực trị của đồ thị $\left(C\right)$ không thể nằm ở hai phía đối với trục tung. Do đó, ý b) sai.

– Tiệm cận:

+) Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng $x=-1$.

+) Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng $y=-x+2$.

Vậy ý c) đúng.

– Đồ thị $\left(C\right)$ nhận giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.

Với $x=-1$ thì $y=-\left(-1\right)+2=3$.

Vậy điểm $I\left(-1;3\right)$ là tâm đối xứng của đồ thị $\left(C\right)$.

Do đó, ý d) đúng.

a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ.

Hướng dẫn giải

– Vì $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ là lăng trụ tam giác đều nên $\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$.

Theo quy tắc ba điểm ta có: $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$. Vậy ý a) đúng.

– Ta có $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime },BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ là các hình chữ nhật có hai kích thước là $a$ và $a\sqrt{2}$.

Do đó, $A{B}^{\prime }=B{C}^{\prime }=\sqrt{a^2+{\left(a\sqrt{2}\right)}^2}=a\sqrt{3}$. Suy ra $\left|\overrightarrow{A{B}^{\prime }}\right|=\left|\overrightarrow{B{C}^{\prime }}\right|=\sqrt{3}$.

Vậy ý b) đúng.

– Ta có $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{B{C}^{\prime }}=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}\right)\cdot \left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}\right)$

$=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{C{C}^{\prime }}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{C{C}^{\prime }}$

$=-AB\cdot BC\cdot \cos \widehat{BAC}+0+0+B{B}^{\prime 2}$

$=-a\cdot a\cdot \cos 60^{\circ }+{\left(a\sqrt{2}\right)}^2$$=\frac{3a^2}{2}$.

Suy ra \(\cos \left( {\overrightarrow {AB'} ,\,\overrightarrow {BC'} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB'}  \cdot \,\overrightarrow {BC'} }}{{\left| {\overrightarrow {AB'} } \right| \cdot \,\left| {\overrightarrow {BC'} } \right|}} = \frac{{\frac{{3{a^2}}}{2}}}{{a\sqrt 3  \cdot a\sqrt 3 }} = \frac{1}{2}\). Do đó, $\left(\overrightarrow{A{B}^{\prime }},\overrightarrow{B{C}^{\prime }}\right)=60^{\circ }$.

Vậy ý c) sai và ý d) đúng.

a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ.

Hướng dẫn giải

– Ta có $\overrightarrow{OA}=\left(3;-2;-4\right)$. Suy ra $\overrightarrow{OA}=3\overrightarrow{i}+\left(-2\right)\overrightarrow{j}+\left(-4\right)\overrightarrow{k}=3\overrightarrow{i}-2\overrightarrow{j}-4\overrightarrow{k}$.

Do đó, ý a) đúng.

– Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left(2-3;0-\left(-2\right);5-\left(-4\right)\right)=\left(-1;2;9\right)$. Do đó, ý b) sai.

– Điểm $B\left(2;0;5\right)$ có hoành độ $x=2\ne 0$, tung độ $y=0$ và cao độ $z=5\ne 0$ nên điểm $B$ nằm trong mặt phẳng $\left(Oxz\right)$. Do đó, ý c) đúng.

– Gọi tọa độ điểm $C$ là $\left(x_C;y_C;z_C\right)$, ta có $\overrightarrow{AC}=\left(x_C-3;y_C+2;z_C+4\right)$.

Khi đó, $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{u}$$\iff \{\begin{array}{l}{x}_C-3=1\\ y_C+2=3\\ z_C+4=-7\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{x}_C=4\\ y_C=1\\ z_C=-11\end{array}$. Vậy $C\left(4;1;-11\right)$.

Do đó, ý d) đúng.