Đề thi giữa kì 1 Toán 12 Cánh diều – Đề 08 (có đáp án)

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S.

Hướng dẫn giải

Quan sát đồ thị, ta thấy:

– Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng $\left(-\infty ;0\right)$ và $\left(2;+\infty \right)$; nghịch biến trên khoảng $\left(0;2\right)$. Vậy ý a) sai.

– Hàm số đã cho có $2$ điểm cực trị: $x=0$ (điểm cực đại) và $x=2$ (điểm cực tiểu). Do đó, ý b) đúng.

– Trên đoạn $\left[-1;1\right]$, hàm số đạt giá trị lớn nhất tại $x=0$, $\underset{\left[-1;1\right]}{\max }f\left(x\right)=f\left(0\right)=2$. Do đó, ý c) đúng.

– Ta có $3f\left(x\right)-6=0$$\iff f\left(x\right)=2$.

Đường thẳng $y=2$ cắt đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ tại 2 điểm nên phương trình $f\left(x\right)=2$có 2 nghiệm, tức là phương trình $3f\left(x\right)-6=0$ có 2 nghiệm.

Vậy ý d) sai.

a) S, b) S, c) Đ, d) Đ.

Hướng dẫn giải

Xét hàm số $y=\frac{x^2+3x+3}{x+2}=x+1+\frac{1}{x+2}$.

– Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}\backslash \left\{-2\right\}$.

– Ta có $y^{\prime }=\frac{x^2+4x+3}{{\left(x+2\right)}^2}$; $y^{\prime }=0$ khi $x=-3$ hoặc $x=-1$.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

– Hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng $\left(-\infty ;-3\right)$ và $\left(-1;+\infty \right)$. Do đó, ý a) sai.

– Hàm số đã cho đạt cực đại tại $x=-3$, ; đạt cực tiểu tại $x=-1$, $y_{CT}=1$.

Suy ra . Do đó, ý b) sai.

– Tiệm cận:

+) Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng $x=-2$.

+) Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng $y=x+1$.

Với $x=0$ thì $y=0+1=1$, do đó đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho đi qua điểm $A\left(0;1\right)$. Vậy ý c) đúng.

– Đường thẳng $x-3y-6=0$$\iff y=\frac{1}{3}x-2$ có hệ số góc $k_1=\frac{1}{3}$. Đường thẳng này vuông góc với tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho nên tiếp tuyến này có hệ số góc $k_2=\frac{-1}{k_1}=-3$.

Khi đó, với $x_0$ là hoành độ của tiếp điểm thì $y^{\prime }\left(x_0\right)=\frac{x_0^2+4x_0+2}{{\left(x_0+2\right)}^2}=-3$.

Ta tìm được $x_0=-\frac{5}{2}$ hoặc $x_0=-\frac{3}{2}$.

+) Với $x_0=-\frac{5}{2}$, ta có tiếp tuyến: $y=-3x-11$.

+) Với $x_0=-\frac{3}{2}$, ta có tiếp tuyến: $y=-3x-3$, tiếp tuyến này đi qua điểm $B\left(-\frac{3}{2};\frac{3}{2}\right)$.

Do đó, ý d) đúng.

a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S.

Hướng dẫn giải

– Vì $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là hình lập phương nên $BD{D}^{\prime }{B}^{\prime }$ là hình chữ nhật.

Suy ra $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}$. Do đó, ý a) đúng.

– Ta có: $A^{\prime }{C}^{\prime }=\sqrt{A^{\prime }{B^{\prime }}^2+B^{\prime }{C^{\prime }}^2}=\sqrt{2}$; $A^{\prime }C=\sqrt{A^{\prime }{C^{\prime }}^2+C{C^{\prime }}^2}=\sqrt{3}$.

Suy ra $\left|\overrightarrow{A^{\prime }C}\right|=A^{\prime }C=\sqrt{3}$. Tương tự, $\left|\overrightarrow{A{C}^{\prime }}\right|=A{C}^{\prime }=\sqrt{3}$.

Vậy ý b) đúng.

– Theo quy tắc hình hộp, ta có: $\overrightarrow{A^{\prime }C}=\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }A}$.

Mà $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}=\overrightarrow{AD},\overrightarrow{A^{\prime }A}=\overrightarrow{D^{\prime }D}$. Do đó, $\overrightarrow{A^{\prime }C}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{D^{\prime }D}$.

Vậy ý c) đúng.

– Ta có: $\overrightarrow{A^{\prime }C}\cdot \overrightarrow{BD}=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}\right)\cdot \left(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\right)$

\( = \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AD}  - {\overrightarrow {AB} ^2} + {\overrightarrow {AD} ^2} - \overrightarrow {AD}  \cdot \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {DD'}  \cdot \overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {DD'}  \cdot \overrightarrow {AB} \)

$=0-1^2+1^2-0+0-0=0$.

Vậy $\overrightarrow{A^{\prime }C}\cdot \overrightarrow{BD}=0$, do đó ý d) sai.

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S.

Hướng dẫn giải

– Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left(3-1;0-3;3-\left(-1\right)\right)=\left(2;-3;4\right)$. Do đó, ý a) sai.

– Gọi tọa độ của điểm $D$ là $\left(x_D;y_D;z_D\right)$, ta có tọa độ của vectơ $\overrightarrow{CD}$ là:

$\left(x_D-2;y_D-3;z_D-6\right)$.

Do đó, ý b) đúng.

– Ta có $\overrightarrow{DC}=\left(2-x_D;3-y_D;6-z_D\right)$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$.

Suy ra $\{\begin{array}{l}2-x_D=2\\ 3-y_D=-3\\ 6-z_D=4\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{x}_D=0\\ y_D=6\\ z_D=2\end{array}$. Vậy $D\left(0;6;2\right)$. Do đó, ý c) đúng.

– Gọi $O$ là tâm của hình bình hành $ABCD$. Khi đó, $O$ là trung điểm của $AC$.

Suy ra $\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OC}$.

Gọi tọa độ của $O$ là $\left(x;y;z\right)$.

Ta có $\overrightarrow{AO}=\left(x-1;y-3;z+1\right)$, $\overrightarrow{OC}=\left(2-x;3-y;6-z\right)$.

Khi đó, $\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OC}$$\iff \{\begin{array}{l}x-1=2-x\\ y-3=3-y\\ z+1=6-z\end{array}\iff \{</span><span>\begin{array}{l}x=\frac{3}{2}\\ y=3\\ x=\frac{5}{2}\end{array}$. Suy ra $O\left(\frac{3}{2};3;\frac{5}{2}\right)$.

Do đó, ý d) sai.