Đề thi cuối kì 1 Toán 12 Cánh diều cấu trúc mới (có tự luận) – Đề 3 (có đáp án)

a) $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ (theo quy tắc hình hộp).

b)

Gọi $M$ là trung điểm của $DC$.

Ta có $\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MG}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DM}+\frac{1}{3}\overrightarrow{M{D}^{\prime }}$$=\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{MD}+\frac{1}{3}\overrightarrow{D{D}^{\prime }}$$=\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}.\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$

$=\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{6}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$$=\overrightarrow{AD}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$.

$\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}$$=-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}$.

Khi đó $\overrightarrow{AG}.\overrightarrow{DB}=\left(\overrightarrow{AD}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{A{A}^{\prime }}\right)\left(-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}\right)$

$=-{\overrightarrow{AD}}^2-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}-\frac{1}{3}\overrightarrow{A{A}^{\prime }}.\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}{\overrightarrow{AB}}^2+\frac{1}{3}\overrightarrow{A{A}^{\prime }}.\overrightarrow{AB}$

$=-{\overrightarrow{AD}}^2+\frac{1}{3}{\overrightarrow{AB}}^2$ (vì $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}.\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}.\overrightarrow{AB}=0$)

$=-9a^2+\frac{1}{3}.4a^2=-\frac{23}{3}{a}^2$.

c) $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}\right|=\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}\right|=\left|\overrightarrow{A{C}^{\prime }}\right|=\sqrt{4a^2+9a^2+16a^2}=a\sqrt{29}$.

d) Có $A{A}^{\prime }\perp AD$ nên $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}.\overrightarrow{AD}=0$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

Có $f^{\prime }\left(x\right)=0\iff [\begin{array}{l}x=1\\ x=-2\\ x=3\end{array}$.

Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số có 2 điểm cực trị.

Trả lời: $2$.

Ta có $y^{\prime }=\frac{1-\ln x}{x^2}$; $y^{\prime }=0\iff 1-\ln x=0\iff \ln x=1\iff x=e\in \left[2;3\right]$.

Ta có $y\left(2\right)=\frac{\ln 2}{2};y\left(e\right)=\frac{1}{e};y\left(3\right)=\frac{\ln 3}{3}$.

Suy ra $\underset{\left[2;3\right]}{\min }y=\frac{\ln 2}{2}$. Suy ra $a=1;b=2$. Do đó $a-5b=1-5.2=-9$.

Trả lời: $-9$.

Xét lĩnh vực A.

$\overline{x_A}=\frac{2.7,5+5.12,5+8.17,5+6.22,5+4.27,5}{2+5+8+6+4}=18$.

$s_A^2=\frac{2.{\left(7,5-18\right)}^2+5.{\left(12,5-18\right)}^2+8.{\left(17,5-18\right)}^2+6.{\left(22,5-18\right)}^2+4.{\left(27,5-18\right)}^2}{2+5+8+6+4}=\frac{137}{4}$.

Suy ra $s_A=\frac{\sqrt{137}}{2}$.

Xét lĩnh vực B

$\overline{x_B}=\frac{8.7,5+4.12,5+2.17,5+5.22,5+6.27,5}{8+4+2+5+6}=\frac{169}{10}$.

$s_B^2=\frac{8.{\left(7,5-16,9\right)}^2+4.{\left(12,5-16,9\right)}^2+2.{\left(17,5-16,9\right)}^2+5.{\left(22,5-16,9\right)}^2+6.{\left(27,5-16,9\right)}^2}{8+4+2+5+6}=\frac{1616}{25}$.

Suy ra $s_B=\frac{4\sqrt{101}}{5}$.

Do đó $s_A+s_B=\frac{\sqrt{137}}{2}+\frac{4\sqrt{101}}{5}\approx 13,9$.

Trả lời: $13,9$.

Số tiền bán hết $x$ mét vải lụa là $B\left(x\right)=220x$ nghìn đồng.

Lợi nhuận thu được khi bán $x$ mét vải lụa là

$L\left(x\right)=B\left(x\right)-C\left(x\right)=220x-\left(x^3-3x^2-20x+500\right)$$=-x^3+3x^2+240x-500$.

Có $L^{\prime }\left(x\right)=-3x^2+6x+240=0$$\iff x=10$ (vì $1\le x\le 18$).

Ta có $L\left(1\right)=-1^3+3.1^2+240.1-500=-258$; $L\left(10\right)=-10^3+3.10^2+240.10-500=1200$;

$L\left(18\right)=-18^3+3.18^2+240.18-500=-1040$.

Vậy mỗi ngày hộ làm nghề dệt này cần sản xuất và bán ra 10 mét vải thì thu được lợi nhuận tối đa là 1200 nghìn đồng

Vì $A\in Ox\Rightarrow A\left(a;0;0\right),B\in Oy\Rightarrow B\left(0;b;0\right)$.

Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$, $G\in Oz\Rightarrow G\left(0;0;c\right)$.

Do đó $C\left(-a;-b;3c\right)$.

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(-a;b;0\right),\overrightarrow{AC}=\left(-2a;-b;3c\right)$.

Vì $\Delta ABC$ vuông tại $A$ nên $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0$$\iff 2a^2-b^2=0\iff b^2=2a^2$.

Khi đó $\frac{OA}{OB}=\frac{\sqrt{a^2}}{\sqrt{b^2}}=\sqrt{\frac{a^2}{2a^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Từ đồ thị của hàm số $y=f^{\prime }\left(x\right)$ ta suy ra bảng biến thiên của hàm số $y=f\left(x\right)$ như hình

Vậy phương trình $f\left(x\right)=f\left(3\right)$ có một nghiệm.