Đề thi cuối kì 2 Toán 12 cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 03

Gọi $\left(Q\right)$ là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$, khi đó $\left(Q\right)$ nhận $\overrightarrow{AB}=\left(-3;-1;0\right)$ làm vectơ pháp tuyến và đi qua điểm $I\left(\frac{3}{2};\frac{5}{2};1\right)$ là trung đểm của $AB$.

Ta có phương trình mặt phẳng $\left(Q\right):-3\left(x-\frac{3}{2}\right)-\left(y-\frac{5}{2}\right)=0\iff 3x+y-7=0$.

Theo giả thiết với mọi $M\in d$ thì $AM=BM$, do đó $M\in \left(Q\right)$, từ đó $d\subset \left(Q\right)$.

Mà $d\subset \left(P\right)$ nên đường thẳng $d$ là giao tuyến chung của hai mặt phẳng $\left(P\right)$ và $\left(Q\right)$.

Ta có $\overrightarrow{n_1}=\left(1;1;1\right);\overrightarrow{n_2}=\left(3;1;0\right)$lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left(P\right)$ và $\left(Q\right)$.

Vì $d$ là giao tuyến chung của hai mặt phẳng $\left(P\right)$ và $\left(Q\right)$ nên một vectơ chỉ phương của $d$ là $\overrightarrow{u}=\left[\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}\right]=\left(-1;3;-2\right)$.

Xét hệ $\{\begin{array}{l}x+y+z-7=0\\ 3x+y-7=0\end{array}$. Ta thấy $E\left(0;7;0\right)\in \left(P\right)\cap \left(Q\right)$ hay đường thẳng $d$ đi qua $E$.

Vậy phương trình đường thẳng $d$ là $\{\begin{array}{l}x=-t\\ y=7+3t\\ z=-2t\end{array}$.

Gọi $\left(R\right)$ là mặt phẳng đi qua $O$ và vuông góc với đường thẳng $d$ nên $\left(R\right)$ nhận $\overrightarrow{u}=\left(-1;3;-2\right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Suy ra mặt phẳng $\left(R\right)$ có phương trình là $-x+3y-2z=0$.

Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ trên đường thẳng $d$.

Khi đó tọa độ điểm $H$ là nghiệm của hệ $\{\begin{array}{l}x=-t\\ y=7+3t\\ z=-2t\\ -x+3y-2z=0\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}x=-t\\ y=7+3t\\ z=-2t\\ t+21+9t+4t=0\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{3}{2}\\ y=\frac{5}{2}\\ z=3\\ t=-\frac{3}{2}\end{array}$.

Suy ra $H\left(\frac{3}{2};\frac{5}{2};3\right)$. Khi đó $d\left(O,d\right)=OH=\sqrt{{\left(\frac{3}{2}\right)}^2+{\left(\frac{5}{2}\right)}^2+3^2}=\frac{\sqrt{70}}{2}$.

Gọi biến cố A: “Học sinh đó là nữ”;

B là biến cố: “Học sinh đó tham gia câu lạc bộ Tiếng Anh”.

Theo đề ta có ; .

Xác suất để học sinh đó tham gia câu lạc bộ Tiếng Anh là:

.

Xác suất để học sinh đó là nam biết rằng học sinh đó có tham gia câu lạc bộ Tiếng Anh là:

.