Đề thi giữa kì 1 Toán 12 cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 2

Giả sử miếng bìa hình vuông $ABCD$, đáy của hình chóp tứ giác đều là hình vuông $MNPQ$ tâm $O$ có cạnh bằng $x$ dm $\left(0<x<6\sqrt{2}\right)$ như hình vẽ. Gọi $H,K$ lần lượt là trung điểm của $MQ$ và $NP$.

Vì $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng 6 dm nên $AC=6\sqrt{2}$ dm, $HK=x$ dm.

Ta có $AH=\frac{AC-HK}{2}=3\sqrt{2}-\frac{x}{2}$ dm.

Đường cao của hình chóp tứ giác đều là:

$h=AO=\sqrt{A{H}^2-O{H}^2}=\sqrt{{\left(3\sqrt{2}-\frac{x}{2}\right)}^2-{\left(\frac{x}{2}\right)}^2}=\sqrt{18-3\sqrt{2}x}$ (dm).

Thể tích của khối chóp là: $V=\frac{1}{3}h{x}^2=\frac{1}{3}{x}^2\sqrt{18-3\sqrt{2}x}=\frac{1}{3}\sqrt{x^4\left(18-3\sqrt{2}x\right)}$ (dm³).

Để tìm giá trị lớn nhất của $V$ ta đi tìm giá trị lớn nhất của hàm số $f\left(x\right)=x^4\left(18-3\sqrt{2}x\right)$ với $0<x\le 3\sqrt{2}$.

Ta có: $f^{\prime }\left(x\right)=x^3\left(-15\sqrt{2}x+72\right)$, $f^{\prime }\left(x\right)=0$ khi $x=0$ hoặc $x=\frac{12\sqrt{2}}{5}$.

Bảng biến thiên của hàm số $f\left(x\right)$ như sau:

Từ bảng biến thiên, ta có $\underset{\left(0;3\sqrt{2}\right]}{\max }f\left(x\right)=f\left(\frac{12\sqrt{2}}{5}\right)=\frac{1492992}{3125}$.

Vậy thể tích của khối chóp có giá trị lớn nhất bằng $V_{\max }=\frac{1}{3}\sqrt{\frac{1492992}{3125}}=\frac{288\sqrt{10}}{125}$ (dm³).

Gọi $A_1,B_1,C_1$ lần lượt là các điểm sao cho $\overrightarrow{O{A}_1}=\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{O{B}_1}=\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{O{C}_1}=\overrightarrow{F_3}$. Lấy các điểm $D_1,A_1^{\prime },B_1^{\prime },D_1^{\prime }$ sao cho $O{A}_1{D}_1{B}_1.C_1{A}_1^{\prime }{D}_1^{\prime }{B}_1^{\prime }$ là hình hộp như hình dưới đây.

Theo quy tắc hình hộp, ta có: $\overrightarrow{O{A}_1}+\overrightarrow{O{B}_1}+\overrightarrow{O{C}_1}=\overrightarrow{O{D^{\prime }}_1}$.

Mặt khác, do các lực căng $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3}$ đôi một vuông góc và $\left|\overrightarrow{F_1}\right|=\left|\overrightarrow{F_2}\right|=\left|\overrightarrow{F_3}\right|=15$ (N) nên hình hộp $O{A}_1{D}_1{B}_1.C_1{A}_1^{\prime }{D}_1^{\prime }{B}_1^{\prime }$ có ba cạnh $O{A}_1,O{B}_1,O{C}_1$ đôi một vuông góc và bằng nhau.

Do đó, hình hộp $O{A}_1{D}_1{B}_1.C_1{A}_1^{\prime }{D}_1^{\prime }{B}_1^{\prime }$ là hình lập phương có độ dài cạnh bằng 15.

Suy ra độ dài đường chéo của hình lập phương đó bằng $15\sqrt{3}$.

Do chiếc đèn ở vị trí cân bằng nên $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\overrightarrow{P}$, ở đó $\overrightarrow{P}$ là trọng lực tác dụng lên chiếc đèn.

Vậy trọng lượng của chiếc đèn là $\left|\overrightarrow{P}\right|=\left|\overrightarrow{O{D^{\prime }}_1}\right|=15\sqrt{3}$ (N).