Đề thi giữa kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Trương Định (Hà Nội) có đáp án

a) Hàm vận tốc tức thời $v\left(t\right)$ là đạo hàm bậc nhất của hàm vị trí $s\left(t\right)$ nên $v\left(t\right)=s^{\prime }\left(t\right)=-3t^2+12t-9$.

b) Tìm vận tốc lớn nhất trên đoạn $\left[0;5\right]$:

Hàm số $v\left(t\right)=-3t^2+12t-9$ là một parabol có bề lõm hướng xuống dưới.

Đạo hàm của vận tốc: $v^{\prime }\left(t\right)=-6t+12$. Ta có $v^{\prime }\left(t\right)=0\iff t=2\in \left[0;5\right]$.

Tính các giá trị tại biên và tại đỉnh:

$v\left(0\right)=-9m/s$; $v\left(2\right)=-3\cdot 2^2+12\cdot 2-9=3m/s$; $v\left(5\right)=-3\cdot 5^2+12\cdot 5-9=-24m/s$.

Vậy vận tốc tức thời lớn nhất của vật trong khoảng thời gian từ $t=0$ đến $t=5$ giây là $3m/s$ (đạt được tại $t=2$ giây).

c) Để tính quãng đường vật đi được, ta cần chú ý xem vật có đổi chiều chuyển động hay không bằng cách xét dấu của vận tốc $v\left(t\right)$, ta có: $v\left(t\right)=0\iff -3t^2+12t-9=0\iff t=1$ hoặc $t=3$.

Trong khoảng thời gian $\left[0;5\right]$, vật đổi chiều tại hai thời điểm $t=1$ và $t=3$.

Trên khoảng $\left(0;1\right)$: $v\left(t\right)<0$ (vật đi ngược chiều dương).

Trên khoảng $\left(1;3\right)$: $v\left(t\right)>0$ (vật đi theo chiều dương).

Trên khoảng $\left(3;5\right)$: $v\left(t\right)<0$ (vật đi ngược chiều dương).

Quãng đường tổng cộng vật đi được tính bằng tổng trị tuyệt đối các hiệu vị trí:

$S=\left|s\left(1\right)-s\left(0\right)\right|+\left|s\left(3\right)-s\left(1\right)\right|+\left|s\left(5\right)-s\left(3\right)\right|$

Ta tính các giá trị vị trí tại các mốc thời gian: $s\left(0\right)=3$; $s\left(1\right)=-1^3+6\cdot 1^2-9\cdot 1+3=-1$;

$s\left(3\right)=-3^3+6\cdot 3^2-9\cdot 3+3=3$; $s\left(5\right)=-5^3+6\cdot 5^2-9\cdot 5+3=-17$.

Do đó: $S=\left|-1-3\right|+\left|3-\left(-1\right)\right|+\left|-17-3\right|=\left|-4\right|+\left|4\right|+\left|-20\right|=4+4+20=28\mathrm{m}$.

Vậy quãng đường vật đi được là $28\mathrm{m}$.

a) Vì $O$ là trung điểm của $AC$ (tính chất đường chéo hình vuông) và $N$ là trung điểm của $SC$ nên $ON$ là đường trung bình của tam giác $SAC$.

Do đó $\overrightarrow{ON}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AS}$.

Ta có $\overrightarrow{ON}\cdot \overrightarrow{CD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AS}\cdot \overrightarrow{CD}$.

Vì $ABCD$ là hình vuông nên $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}$. Do đó $\overrightarrow{ON}\cdot \overrightarrow{CD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AS}\cdot \overrightarrow{BA}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AS}\cdot \overrightarrow{AB}=-\frac{1}{2}\cdot AS\cdot AB\cdot \cos \widehat{SAB}$.

Xét tam giác $SAB$ có $SA=SB=6$ và $AB=4$. Áp dụng định lí côsin trong tam giác $SAB$:

$\cos \widehat{SAB}=\frac{A{S}^2+A{B}^2-S{B}^2}{2\cdot AS\cdot AB}=\frac{6^2+4^2-6^2}{2\cdot 6\cdot 4}=\frac{16}{48}=\frac{1}{3}$.

Thay vào biểu thức tích vô hướng: $\overrightarrow{ON}\cdot \overrightarrow{CD}=-\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 4\cdot \frac{1}{3}=-4$.

b) Ta có $O$ là trung điểm của $AC$ và $BD$ nên $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=2\overrightarrow{SO}$ và $\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}=2\overrightarrow{SO}$.

Do đó: $\vec{u}=4\overrightarrow{SO}$. Suy ra $\left|\vec{u}\right|=4\left|\overrightarrow{SO}\right|=4SO$.

Đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $4\Rightarrow BD=4\sqrt{2}\Rightarrow OD=2\sqrt{2}$.

Xét tam giác vuông $SOD$ tại $O$ có: $SO=\sqrt{S{D}^2-O{D}^2}=\sqrt{6^2-{\left(2\sqrt{2}\right)}^2}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$.

Vậy $\left|\vec{u}\right|=4\left|\overrightarrow{SO}\right|=4SO=8\sqrt{7}\approx 21,2$.

Chọn hệ trục tọa độ sao cho $M$ là gốc tọa độ $O\left(0;0\right)$, đường thẳng $AB$ trùng với trục hoành $Ox$, đường thẳng $CM$ trùng với trục tung $Oy$.

Do $AB=4\mathrm{km}$ và $M$ là trung điểm $AB$ nên $A\left(-2;0\right)$ và $B\left(2;0\right)$.

Điểm $C$ nằm trên $Oy$ và cách $M$ một khoảng $4\mathrm{km}$ về phía dương nên $C\left(0;4\right)$.

Điểm $I$ thuộc đoạn thẳng $CM$ nên $I$ có tọa độ dạng $I\left(0;y\right)$ với $0\le y\le 4$.

Khi đó, tổng độ dài đường ống dẫn nước là: $L=IC+IA+IB$.

Vì $I$ thuộc $Oy$ và $A,B$ đối xứng qua $Oy$ nên $IA=IB=\sqrt{2^2+y^2}=\sqrt{y^2+4}$.

Độ dài đoạn $IC=4-y$.

Vậy hàm tổng độ dài là: $L\left(y\right)=4-y+2\sqrt{y^2+4},y\in \left[0;4\right]$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

$L^{\prime }\left(y\right)=-1+2\cdot \frac{y}{\sqrt{y^2+4}}=\frac{2y-\sqrt{y^2+4}}{\sqrt{y^2+4}}$;

$L^{\prime }\left(y\right)=0\iff 2y=\sqrt{y^2+4}\iff 4y^2=y^2+4(y\ge 0)$$\iff 3y^2=4\iff y=\frac{2}{\sqrt{3}}$.

Tính giá trị của $L\left(y\right)$ tại các điểm mốc:

Tại biên $y=0$: $L\left(0\right)=4-0+2\sqrt{0+4}=4+4=8\mathrm{km}$.

Tại biên $y=4$: $L\left(4\right)=4-4+2\sqrt{4^2+4}=2\sqrt{20}=4\sqrt{5}\approx 8,94\mathrm{km}$.

Tại điểm tới hạn $y=\frac{2}{\sqrt{3}}$:

$L\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)=4-\frac{2}{\sqrt{3}}+2\sqrt{\frac{4}{3}+4}=4-\frac{2}{\sqrt{3}}+2\sqrt{\frac{16}{3}}=4-\frac{2}{\sqrt{3}}+\frac{8}{\sqrt{3}}=4+\frac{6}{\sqrt{3}}=4+2\sqrt{3}$$\approx 7,4641\mathrm{km}$.

So sánh các giá trị, ta thấy tổng độ dài nhỏ nhất là $4+2\sqrt{3}\mathrm{km}$.

Làm tròn đến hàng phần trăm: $7,46\mathrm{km}$.

Vậy tổng độ dài đường ống dẫn nước nhỏ nhất bằng $7,46\mathrm{km}$.