Đề thi giữa kì 2 Toán 12 cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 4

Ta có $h\left(t\right)=\int v\left(t\right)dt=\int \left(-9,81t+29,43\right)dx=-\frac{9,81}{2}{t}^2+29,43t+C$.

Vì vật được ném lên từ độ cao 300 m nên $h\left(0\right)=300\Rightarrow C=300$.

Vậy $h\left(t\right)=$$h\left(t\right)=-\frac{9,81}{2}{t}^2+29,43t+300$.

Khi vật chạm đất ứng với $h\left(t\right)=0\iff$$-\frac{9,81}{2}{t}^2+29,43t+300=0\iff t\approx 11$ (vì $t>0$).

Vậy sau khoảng 11 giây từ lúc ném thì vật đó chạm đất.

Diện tích của hình chữ nhật là $4.6=24$(m²).

Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ

Vì Parabol đối xứng qua Oy nên có dạng: $\left(P\right):y=a{x}^2+c$.

Vì $\left(P\right)$ đi qua $B\left(4;0\right)$ và $N\left(2;6\right)$ nên $\left(P\right):y=-\frac{1}{2}{x}^2+8$.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $\left(P\right)$ và trục $Ox$ là: $S_1=2\underset{0}{\overset{4}{\int }}\left(-\frac{1}{2}{x}^2+8\right)dx=\frac{128}{3}$ (m²).

Diện tích phần phía ngoài phông để trang trí hoa là $S=S_1-S_{MNPQ}=\frac{128}{3}-24=\frac{56}{3}\approx 18,7$ m².

Giả sử $A\left(m;0;0\right),B\left(0;n;0\right)$ với $m>0,n>0$.

Do đó phương trình mặt phẳng $\left(P\right):\frac{x}{m}+\frac{y}{n}+\frac{z}{3}-1=0$.

Theo giả thiết $G\left(a;b;c\right)$ là trọng tâm tam giác $ABC$ $\Rightarrow m=3a,n=3b,c=1$.

Mặt phẳng $\left(P\right)$ đi qua điểm $M\left(1;8;0\right)$ nên $\frac{1}{m}+\frac{8}{n}-1=0\Rightarrow m=\frac{n}{n-8}$ với $n>8$.

Vì $OG$ nhỏ nhất nên $P=a^2+b^2+c^2=\frac{{\left(\frac{n}{n-8}\right)}^2}{9}+\frac{n^2}{9}+1$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Đặt $f\left(n\right)=\frac{{\left(\frac{n}{n-8}\right)}^2}{9}+\frac{n^2}{9}+1$. Suy ra $f^{\prime }\left(n\right)=\frac{1}{9}\left(\frac{-2n}{n-8}.\frac{8}{{\left(n-8\right)}^2}+2n\right)$.

Có $f^{\prime }\left(n\right)=0\iff n=10$(thỏa mãn).

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có minP khi $n=10$. Suy ra $m=5;a=\frac{5}{3},b=\frac{10}{3}$.

Vậy $G\left(\frac{5}{3};\frac{10}{3};1\right)$.