Đề kiểm tra giữa kì 2 môn Toán 9 (Mới nhất)_đề 23

$\begin{array}{l}1)\sqrt{x}=\sqrt{7+4\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}\Rightarrow A=\frac{2+\sqrt{3}+1}{2+\sqrt{3}-2}=\sqrt{3}+1\\ 2)B=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}+\frac{1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}+4}{x-\sqrt{x}-2}\left(\begin{array}{l}x\ge 0\\ x\ne 4\end{array}\right)\\ =\frac{\sqrt{x}.\left(\sqrt{x}-2\right)+\left(1-\sqrt{x}\right)\left(1+\sqrt{x}\right)-\sqrt{x}-4}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}=\frac{x-2\sqrt{x}+1-x-\sqrt{x}-4}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\\ =\frac{-3\sqrt{x}-3}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}=\frac{-3\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}=\frac{-3}{\sqrt{x}-2}\end{array}$

$3)P=\frac{B}{A}<-1\iff \frac{-3}{\sqrt{x}-2}:\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-2}<-1$

$\iff \frac{3}{\sqrt{x}+1}>1\iff \frac{3-\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}>0\iff 2-\sqrt{x}>0\iff x<4$

Vậy $0\le x<4$thì $P<-1$

Gọi $\overline{ab}$là số cần tìm $\left(a,b\in \mathbb{N}\ast ,a,b\le 9\right)$. Theo bài ta có hệ phương trình :

$\{\begin{array}{l}a+b=9\\ \overline{ab}=2\overline{ba}+18\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a+b=9\\ 8a-19b=18\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=7\\ b=2\end{array}$(tm)

Vậy số cần tìm là $72$

$1)2x^2+\left(2-\sqrt{3}\right)x-\sqrt{3}=0\iff [\begin{array}{l}x=\frac{\sqrt{3}}{2}\\ x=-1\end{array}$

2) Ta có phương trình hoành độ giao điểm của $\left(P\right),\left(d\right)$: $x^2+2mx-4=0$

Vì $ac<0$nên phương trình có hai nghiệm phân biệt , do đó $\left(d\right)$cắt $\left(P\right)$tại hai điểm phân biệt

$a)MI\perp AC,MD\perp BC\Rightarrow \angle MIC+\angle MDC=90^{\circ }+90^{\circ }=180^{\circ }$

$\Rightarrow MDCI$là tứ giác nội tiếp

$b)MDCI$là tứ giác nội tiếp $\Rightarrow \angle MID=\angle MCD\left(1\right);$

$\Delta ABC$vuông cân $\Rightarrow \angle ABD=45^{\circ }\Rightarrow \Delta ABD$cũng vuông cân

$\Rightarrow \angle BAD=45^{\circ }\Rightarrow \angle BAD=\angle DAC=45^{\circ }\Rightarrow AD$là tia phân giác của $\angle BAC$

$\Rightarrow \Delta BAC$cân tại A, có $AD$là phân giác nên đồng thời là trung trực

$\Rightarrow MB=MC\Rightarrow \angle MBD=\angle MCD\left(2\right)$

$\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow \angle MID=\angle MBD=\angle MBC(dfcm)$

c) $HK\perp ID\Rightarrow \angle HAI+\angle IKH=180^{\circ }\Rightarrow AHKI$nội tiếp

mà $AHMI$cũng nội tiếp (vì $\angle AHM=90^{\circ }=\angle AIM)$$\Rightarrow A,H,M,K,I$cũng thuộc đường tròn

$\Rightarrow AMKI$nội tiếp $\Rightarrow \angle AMK=90^{\circ }-\angle HAM=45^{\circ }$

Lại có : $\angle DIC=\angle DMC=\angle BMD$(MD là trung trực $BC)$

$\Rightarrow \angle HMA+\angle HMB+\angle AMK=\angle HMB+\angle BMD+\angle HMA=\angle AMD=180^{\circ }$

$\Rightarrow \angle BMK=180^{\circ }\Rightarrow B,M,K$thẳng hàng

$=\frac{a^3-a^{2}b-a{b}^2+b^3}{b}=\frac{{\left(a-b\right)}^2.\left(a+b\right)}{b}\ge 0$(vì $a,b>0)$

Vậy $\frac{a^3}{b}\ge a^2+ab-b^2$

Chứng minh tương tự : $\frac{b^3}{c}\ge b^2+bc-c^2\frac{c^3}{b}\ge c^2+ca-a^2$

$\Rightarrow \frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge ab+bc+ca$

Dấu xảy ra $\iff a=b=c$