Đề thi giữa kì 1 Toán 9 Cánh diều – Đề 3 (có đáp án)

Đáp án đúng là: C

ABC vuông tại $A$ có $$BC=a,$$ $$AC=b,AB=c.$$ Khẳng định nào sau đây là đúng? A. $$\sin B=\frac{c}{a}$$. B. $$c=\frac{b}{\cot B}$$. C. $$c=b\cdot \tan C$$. D. $$b=c\cdot \cos C$$. (ảnh 1)">

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$,  ta có:

⦁ $$\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{b}{a}$$;

⦁ $AC=BC\cdot \cos C$ hay $b=a\cdot \cos C$;

⦁ $AB=AC\cdot \tan C$ hay $c=b\cdot \tan C$;

⦁ $\cot B=\frac{AB}{AC}=\frac{c}{b}$ suy ra $b=\frac{c}{\cot B}$.

Đáp án:               a) S;                    b) S;                    c) Đ;                    d) Đ.

⦁ Vì $a<b$ nên $4a<4b$ suy ra $4a-2<4b-2$, do đó ý a) là sai.

⦁ Vì $a<b$ nên $-3a>-3b$ suy ra $6-3a>6-3b$, do đó ý b) là sai.

⦁ Vì $a<b$ nên $4a<4b$ suy ra $4a+1<4b+1<4b+5$ hay $4a+1<4b+5$, do đó ý c) là đúng.

⦁ Vì $a<b$ nên $-2a>-2b$ suy ra $7-2a>7-2b>4-2b$ hay $7-2a>4-2b$, do đó ý d) đúng.

1. Vì số nguyên tử của $\mathrm{K},\mathrm{N}$ và $\mathrm{O}$ ở cả hai vế của phương trình phản ứng phải bằng nhau nên ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}x=2\\ x=2\\ 3x=2\cdot 2+2y\end{array}$ hay $\{\begin{array}{l}x=2\\ 3x=4+2y.\end{array}$

Thay $x=2$ vào phương trình $3x=4+2y,$ ta được:

$3\cdot 2=4+2y,$ suy ra $2y=2$ nên $y=1.$

Vậy $x=2$ và $y=1.$ Khi đó ta có phương trình phản ứng hóa học sau khi được cân bằng như sau:

$2\mathrm{KN}{\mathrm{O}}_3\to 2\mathrm{KN}{\mathrm{O}}_2+{\mathrm{O}}_2.$

2. Gọi $x$ (gam) và $y$ (gam) lần lượt là khối lượng dung dịch muối ăn với nồng độ $5\%$ và $20\%$ cần dùng $\left(0<x<1000,0<y<1000\right)$.

Theo bài, cần pha trộn hai dung dịch trên để được $1000$ g dung dịch muối ăn mới nên ta có phương trình $x+y=1000$. (1)

Khối lượng muối ăn trong $x$ (gam) dung dịch muối ăn $5\%$ là $5\%\cdot x=0,05x$ (gam).

Khối lượng muối ăn trong $y$ (gam) dung dịch muối ăn $20\%$ là $20\%\cdot x=0,2x$ (gam).

Khối lượng muối ăn trong $1000$ gam dung dịch muối ăn $14\%$ là $1000\cdot 14\%=140$ (gam).

Khi đó, ta có phương trình: $0,05x+0,2y=140$. (2)

Từ phương trình (1) và phương trình (2) ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}x+y=1000\left(1\right)\\ 0,05x+0,2y=140\left(2\right)\end{array}$

Nhân hai vế của phương trình (2) với 5, ta được hệ mới là $\{\begin{array}{l}x+y=1000\\ 0,25x+y=700\end{array}$

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:

$0,75x=300,$ suy ra $x=400$ (thỏa mãn).

Thay $x=400$ vào phương trình (1), ta được: $400+y=1000$ suy ra $y=600$ (thỏa mãn).

Vậy cần trộn $400$ gam dung dịch muối ăn $5\%$ với $600$ gam dung dịch muối ăn $20\%$ để được $1000$ gam dung dịch muối ăn $14\%.$

$ABC$ vuông tại $A$ có $AB=6\mathrm{cm}$ và $\cos B=\frac{3}{5}.$ Tính độ dài các cạnh $BC,AC$ và số đo góc $C$ (làm tròn kết quả số đo góc đến phút). (ảnh 2)">

⦁ $\hat{B}+\hat{C}=90^{\circ }$ suy ra $\sin C=\cos B=\frac{3}{5}$, từ đó ta tìm được $\hat{C}\approx 36^{\circ }52^{\prime }$.

2. Đặt: $BC=x\left(\mathrm{m}\right);$ $AC=AB+BC=500+x\left(\mathrm{m}\right)$.

Xét $\Delta ACD$ vuông tại $C,$ ta có: $$CD=AC\cdot \tan \widehat{CAD}=\left(500+x\right)\cdot \tan 34^{\circ }.$$

Xét $\Delta BCD$ vuông tại $C,$ ta có: $CD=BC\cdot \tan \widehat{CBD}=x\cdot \tan 38^{\circ }$.

Do đó, ta có: $\left(500+x\right)\cdot \tan 34^{\circ }=x\cdot \tan 38^{\circ }$

$500\cdot \tan 34^{\circ }+x\cdot \tan 34^{\circ }=x\cdot \tan 38^{\circ }$

$x\cdot \tan 38^{\circ }-x\cdot \tan 34^{\circ }=500\cdot \tan 34^{\circ }$

$x\cdot \left(\tan 38^{\circ }-\tan 34^{\circ }\right)=500\cdot \tan 34^{\circ }$

$x=\frac{500\cdot \tan 34^{\circ }}{\tan 38^{\circ }-\tan 34^{\circ }}\approx 3158,5(\mathrm{m}).$

Suy ra $CD=x\cdot \tan 38^{\circ }\approx 3158,5\cdot \tan 38^{\circ }\approx 2468(\mathrm{m}).$

Vậy ngọn núi cao khoảng $2468$ mét.

ABC có đường cao$AH.$ Gọi $D$ và $E$ lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ $H$ đến $AB,AC.$ Chứng minh rằng $\frac{S_{\Delta ADE}}{S_{\Delta ABC}}={\sin }^{2}B\cdot {\sin }^{2}C$. (ảnh 1)">

⦁ Xét $\Delta ABD$ vuông tại $D$ ta có: $\cos \widehat{DAH}=\frac{AD}{AH}.$

Xét $\Delta ABH$ vuông tại $H$ ta có: $\cos \widehat{BAH}=\frac{AH}{AB}.$

Suy ra $\frac{AD}{AH}=\frac{AH}{AB}$ hay $A{H}^2=AD\cdot AB$.

Chứng minh tương tự ta cũng có: $A{H}^2=AE\cdot AC$.

Do đó $AD\cdot AB=AE\cdot AC$ hay $\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}$.

Xét $\Delta ADE$ và $\Delta ACB$ có: $\widehat{BAC}$ là góc chung và $\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}$

Do đó  (c.g.c), suy ra $\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}=\frac{DE}{CB}$ và $\hat{B}=\hat{E}$.

⦁ Xét $\Delta ABH$ vuông tại $H$, ta có $AH=AB\cdot \sin B$.

Suy ra $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AH=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot BA\cdot \sin B$.

Chứng minh tương tự, ta cũng có: $S_{\Delta ADE}=\frac{1}{2}\cdot ED\cdot EA\cdot \sin E$

Khi đó, $\frac{S_{\Delta ADE}}{S_{\Delta ABC}}=\frac{\frac{1}{2}\cdot ED\cdot EA\cdot \sin E}{\frac{1}{2}\cdot BC\cdot BA\cdot \sin B}=\frac{DE}{CB}\cdot \frac{AE}{AB}\cdot \frac{\sin E}{\sin E}$ (do $\hat{B}=\hat{E})$

Suy ra $\frac{S_{\Delta ADE}}{S_{\Delta ABC}}={\left(\frac{AE}{AB}\right)}^2$ (do $\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}=\frac{DE}{CB})$

Do đó $\frac{S_{\Delta ADE}}{S_{\Delta ABC}}={\left(\frac{AE}{AH}\cdot \frac{AH}{AB}\right)}^2$

Xét $\Delta AHE$ vuông tại $E$ ta có: $\frac{AE}{AH}=\cos \widehat{HAC}=\sin C$ (do $\widehat{HAC}+\hat{C}=90^{\circ })$

Xét $\Delta ABH$ vuông tại $H$ ta có: $\frac{AH}{AB}=\sin B$

Từ đó, ta có $\frac{S_{\Delta ADE}}{S_{\Delta ABC}}={\left(\frac{AE}{AH}\cdot \frac{AH}{AB}\right)}^2={\left(\sin C\cdot \sin B\right)}^2={\sin }^{2}B\cdot {\sin }^{2}C.$

Vậy $\frac{S_{\Delta ADE}}{S_{\Delta ABC}}={\sin }^{2}B\cdot {\sin }^{2}C.$