Đề thi cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức – Đề 04 (có đáp án)

Hướng dẫn giải

a) Thay $x=25$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $P$, ta có:

$P=\frac{1}{\sqrt{25}+1}=\frac{1}{5+1}=\frac{1}{6}.$

Vậy giá trị của biểu thức $P=\frac{1}{6}$ tại $x=25.$

b) Với $x\ge 0;x\ne 4;x\ne 9$, ta có:

$Q=\frac{\sqrt{x}+2}{x-5\sqrt{x}+6}+\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}+\frac{\sqrt{x}+2}{3-\sqrt{x}}$

   $=\frac{\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}+\frac{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}-\frac{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}$

    $=\frac{\sqrt{x}+2+x-9-x+4}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}$

    $=\frac{\sqrt{x}-3}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}$

    $=\frac{1}{\sqrt{x}-2}$.

Vậy với $x\ge 0;x\ne 4;x\ne 9$ thì $Q=\frac{1}{\sqrt{x}-2}$.      

c) Với $x\ge 0;x\ne 4;x\ne 9$, ta có:

$A=\frac{P}{Q}=\frac{1}{\sqrt{x}+1}:\frac{1}{\sqrt{x}-2}=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}$.

Để $\left|A\right|>A$ thì $A<0$ hay $\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}<0$.

Mà $\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}<0$ khi $\sqrt{x}-2$ và $\sqrt{x}+1$ trái dấu.

Nhận thấy $\sqrt{x}+1>0$ nên $\sqrt{x}-2<0$, suy ra $\sqrt{x}<2$ hay $x<4.$

Kết hợp điều kiện $x\ge 0;x\ne 4;x\ne 9$, ta có: $0\le x<4$.

Mà $x\in \mathbb{Z}$ nên $x\in \left\{0;1;2;3\right\}.$

Vậy $x\in \left\{0;1;2;3\right\}$ thì $\left|A\right|>A.$

Gọi $x,y$ (đồng) lần lượt là giá niêm yết của một thùng nước ngọt và một túi bánh sandwich $\left(x>0,y>0\right)$.

Theo bài, cô Linh đi siêu thị mua 1 thùng nước ngọt và 4 túi bánh mì sandwich với giá niêm yết tổng cộng là 340 000 đồng nên ta có phương trình: $x+4y=340000$ (1)

Giá mỗi thùng nước ngọt sau khi tăng $5\%$ so với giá niêm yết là: $x+5\%x=1,05x$ (đồng).

Giá mỗi túi bánh mì sandwich được giảm $15\%$ so với giá niêm yết là:

$x-15\%x=0,85x$ (đồng).

Theo bài, khi thanh toán cô Linh chỉ cần trả tổng cộng $325000$ đồng nên ta có phương trình: $1,05x+4\cdot 0,85y=325000$ hay $1,05x+3,4y=325000$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}x+4y=340000\left(1\right)\\ 1,05x+3,4y=325000\end{array}$

Nhân cả hai vế của phương trình (1) với $1,05,$ ta được hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}1,05x+4,2y=357000\\ 1,05x+3,4y=325000\end{array}$

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:

$0,8y=32000$ nên $y=40000$ (thỏa mãn).

Thay $x=40000$ vào phương trình (1), ta được:

$x+4\cdot 40000=340000$ nên $x=180000$ (thỏa mãn).

Vậy một thùng nước ngọt và một túi bánh mì sandwich có giá niêm yết lần lượt là $180000$ đồng và $180000$ đồng.

Hướng dẫn giải

Khoảng cách của cồn và bờ sông hai người đứng chính là độ dài đoạn thẳng $CH.$

Xét tam giác $AHC$ vuông tại $H$, ta có:

$\tan \widehat{CAH}=\frac{CH}{AH}$ nên $AH=\frac{CH}{\tan \widehat{CAH}}=\frac{CH}{\tan 43^{\circ }}$ (1)

Xét tam giác $BHC$ vuông tại $H$, ta có:

$\tan \widehat{CBH}=\frac{CH}{BH}$ nên $BH=\frac{CH}{\tan \widehat{CBH}}=\frac{CH}{\tan 28^{\circ }}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có:

$AB=AH+BH=\frac{CH}{\tan 43^{\circ }}+\frac{CH}{\tan 28^{\circ }}=CH\left(\frac{1}{\tan 43^{\circ }}+\frac{1}{\tan 28^{\circ }}\right)$

Do đó, $CH=\frac{AB}{\frac{1}{\tan 43^{\circ }}+\frac{1}{\tan 28^{\circ }}}=\frac{250}{\frac{1}{\tan 43^{\circ }}+\frac{1}{\tan 28^{\circ }}}\approx 84,66(\mathrm{m}).$

Vậy cồn cách bờ sông hai người đứng khoảng $84,66\mathrm{m}$.

Hướng dẫn giải

– Gọi $x$ là số lần giảm giá $10000$ đồng $\left(x\in \mathbb{N},0\le x<20\right).$

Giá bán mỗi sản phẩm sau khi giảm giá là: $200-10x$ (nghìn đồng).

Số lượng sản phẩm bán ra sau khi giảm giá là: $100+20x$ (chiếc).

Doanh thu $T\left(x\right)$ của cửa hàng được tính bằng cách nhân giá bán mỗi sản phẩm với số lượng sản phẩm bán ra:

$T\left(x\right)=\left(200-10x\right)\left(100+20x\right)$

        $=200.\left(100+20x\right)-10x\left(100+20x\right)$

       $=20000+4000x-1000x-200x^2$

       $=20000+3000x-200x^2$

      $=-200\left(x^2-15x+{7,5}^2\right)+31250$

      $=-200{\left(x-7,5\right)}^2+31250$ (nghìn đồng).

Nhận thấy $-200{\left(x-7,5\right)}^2+31250\le 31250$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $x-7,5=0$ khi $x=7,5$.

Do $x$ phải là số nguyên dương nên $x=7,5$ không thỏa mãn.

– Ta thấy rằng $T\left(x\right)=-200{\left(x-7,5\right)}^2+31250$ lớn nhất khi ${\left(x-7,5\right)}^2$ nhỏ nhất.

Do giá trị của $T\left(x\right)$ phụ thuộc $x-7,5$ và $x$ nguyên nên ta xét các trường hợp sau:

⦁ Với $x-7,5>0$ hay $x>7,5$

Mà $x$ nguyên dương và ${\left(x-7,5\right)}^2$ nhỏ nhất, nên ta lấy giá trị $x=8.$

Khi đó, $T\left(8\right)=31200$ (nghìn đồng).

⦁ Với $x-7,5<0$ hay $x<7,5$

Mà $x$ nguyên dương và ${\left(x-7,5\right)}^2$ nhỏ nhất, nên ta lấy giá trị $x=7.$

Khi đó, $T\left(7\right)=31200$ (nghìn đồng).

Nhận thấy cả hai giá trị $x=7,x=8$ đều cho doanh thu $T=31200$ (nghìn đồng) hay $T=31200000$ đồng. Do đó, cửa hàng nên giảm giá $70000$ đồng hoặc $80000$ đồng để thu được doanh thu cao nhất.