Đề thi cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức – Đề 09 (có đáp án)

Hướng dẫn giải

1.⦁ Ta có căn bậc hai của $$20,25$$ là $$\sqrt{20,25}=\sqrt{{4,5}^2}=4,5$$.

Vậy căn bậc hai của $$20,25$$ là $$4,5$$.

⦁ Vì $a$ có căn bậc hai là $$20,25$$, nên ta có:

$$\sqrt{a}=20,25$$ suy ra $$a=20,25^2$$ hay $$a=410,0625$$.

Vậy $$a=410,0625$$ là số cần tìm.

Hướng dẫn giải

a) Với mọi $x\ge 0,$ ta có:

⦁ $$\sqrt{x}-3\ne 0$$ khi $\sqrt{x}\ne 3$ hay $x\ne 9.$

⦁ $x-1=\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)$ và $1-\sqrt{x}=-\left(\sqrt{x}-1\right)$

Với mọi $x\ge 0,$ ta có $\sqrt{x}\ge 0$ nên $\sqrt{x}+1\ge 1>0.$

Do đó $x-1\ne 0$ khi $\sqrt{x}-1\ne 0,$ hay $\sqrt{x}\ne 1,$ tức là $x\ne 1.$

Như vậy, điều kiện xác định của biểu thức $$A=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-3}$$ là $$x\ge 0,x\ne 9$$ và điều kiện xác định của biểu thức $$B=\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+1}-\frac{5}{1-\sqrt{x}}+\frac{4}{x-1}$$ là $$x\ge 0,x\ne 1.$$

b) Thay $$x=\frac{1}{9}$$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $$A$$, ta được:

$$A=\frac{\sqrt{\frac{1}{9}}-1}{\sqrt{\frac{1}{9}}-3}=\frac{\frac{1}{3}-1}{\frac{1}{3}-3}=\frac{-\frac{2}{3}}{-\frac{8}{3}}=\frac{1}{4}.$$

Vậy $A=\frac{1}{4}$ khi $x=\frac{1}{9}.$

c) Với $$x\ge 0;x\ne 1$$, ta có:

$$B=\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+1}-\frac{5}{1-\sqrt{x}}+\frac{4}{x-1}$$

   $$=\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+1}+\frac{5}{\sqrt{x}-1}+\frac{4}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}$$

   $$=\frac{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}+\frac{5\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}+\frac{4}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}$$

   $$=\frac{x+2\sqrt{x}-3+5\sqrt{x}+5+4}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}$$

   $$=\frac{x+7\sqrt{x}+6}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}$$$$=\frac{x+\sqrt{x}+6\sqrt{x}+6}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}$$

   $$=\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}+6\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\frac{\sqrt{x}+6}{\sqrt{x}-1}$$.

Vậy với $$x\ge 0;x\ne 1$$ thì $$B=\frac{\sqrt{x}+6}{\sqrt{x}-1}$$.

d) Với $$x\ge 0,x\ne 1,x\ne 9,$$ ta có:

$$P=A\cdot B=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-3}\cdot \frac{\sqrt{x}+6}{\sqrt{x}-1}=\frac{\sqrt{x}+6}{\sqrt{x}-3}=\frac{\sqrt{x}-3+9}{\sqrt{x}-3}=1+\frac{9}{\sqrt{x}-3}.$$

⦁ Với $$0\le x<9,x\ne 1$$ thì $$\sqrt{x}-3<0$$, suy ra $$1+\frac{9}{\sqrt{x}-3}<1$$ hay $$P<1.$$

⦁ Với $$x>9$$ và $$x\in \mathbb{N}$$ suy ra $$x\ge 10$$. Do đó, $$\sqrt{x}-3\ge \sqrt{10}-3>0$$.

Suy ra $$\frac{9}{\sqrt{x}-3}\le \frac{9}{\sqrt{10}-3}$$ nên $$1+\frac{9}{\sqrt{x}-3}\le 1+\frac{9}{\sqrt{10}-3}$$ hay $$P\le 1+\frac{9}{\sqrt{10}-3}$$.

Dấu “=” xảy ra khi $$x=10$$.

Vậy với $$x=10$$ thì biểu thức $$P$$ đạt giá trị lớn nhất.

Hướng dẫn giải

Gọi $$x,y$$ lần lượt là giá niêm yết của một chiếc bếp từ đôi và một chiếc nồi chiên không dầu $$(0<x<21,0<y<21$$, triệu đồng).

Theo đề, giá niêm yết của một chiếc bếp từ đôi và một chiếc nồi chiên không dầu tổng cộng là $$21$$ triệu đồng nên ta có phương trình: $$x+y=21$$. (1)

Bếp từ đôi giảm giá $$15\%$$, tức là có giá bằng $$100\%-15\%=85\%$$ giá niêm yết , nghĩa là giá của một bếp từ đôi sau khi giảm là $$85\%x=0,85x$$.

Nồi chiên không dầu giảm giá $$10\%$$, tức là có giá bằng $$100\%-10\%=90\%$$ giá niêm yết, nghĩa là giá của một nồi chiên không dầu sau khi giảm là $$90\%y=0,9y$$.

Bác Lan mua hai sản phẩm sau khi giảm giá với số tiền $$18,3$$ triệu đồng nên ta có phương trình:

$$0,85x+0,9y=18,3$$. (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $$\{\begin{array}{l}x+y=21\\ 0,85x+0,9y=18,3\end{array}$$.

Từ phương trình thứ nhất, ta có: $$x=21-y\left(\ast \right)$$, thế vào phương trình thứ hai, ta được:

$$0,85\left(21-y\right)+0,9y=18,3$$

$$17,85+0,05y=18,3$$

$$0,05y=0,45$$

$$y=9$$ (thỏa mãn).

Thay $$y=9$$ vào phương trình (*), ta được $$x=21-9=12$$ (thỏa mãn).

Vậy giá niêm yết của bếp từ đôi và nồi chiên không dầu lần lượt là $$12$$ triệu đồng và $$9$$ triệu đồng.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $$Ax//BC$$ suy ra $$\widehat{ACB}=\widehat{xAC}=35^{\circ }$$ (so le trong).

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $B,$ ta có:

$$\sin 35^{\circ }=\sin \widehat{ACB}=\frac{AB}{AC};$$ $$\tan 35^{\circ }=\tan \widehat{ACB}=\frac{AB}{BC}.$$

b) Ta có $$AB=1,6+25=26,6\mathrm{m}.$$

Theo câu a, ta có:

⦁ $$\tan 35^{\circ }=\tan \widehat{ACB}=\frac{AB}{BC}$$ nên $$BC=\frac{AB}{\tan 35^{\circ }}=\frac{26,6}{\tan 35^{\circ }}\approx 38(\mathrm{m}).$$

⦁ $$\sin 35^{\circ }=\sin \widehat{ACB}=\frac{AB}{AC}$$ nên $$AC=\frac{AB}{\sin 35^{\circ }}=\frac{26,6}{\sin 35^{\circ }}\approx 46(\mathrm{m}).$$

Vậy chiếc xe cách tòa nhà khoảng $$38\mathrm{m}$$ và cách mắt người quan sát khoảng $46\mathrm{m}.$

Hướng dẫn giải

⦁ Gọi kích thước hình chữ nhật mà tể tướng sẽ căng là $$x$$ và $$y$$ ($$0<x<150;0<y<150$$).

Khi đó, ta có chu vi của mảnh đất hình chữ nhật đó là $$300$$ mét, suy ra $$x+y=\frac{300}{2}=150\mathrm{m}.$$

Diện tích của mảnh đất là $$S=xy\left({\mathrm{m}}^2\right)$$.

⦁ Chứng minh bổ đề: $$\frac{{\left(x+y\right)}^2}{4}\ge xy$$ với mọi $x>0,y>0.$

Thật vậy, với mọi $x>0,y>0,$ ta có:

 $${\left(x-y\right)}^2\ge 0$$

    $$x^2-2xy+y^2\ge 0$$

    $$x^2+2xy+y^2-4xy\ge 0$$

    $${\left(x+y\right)}^2-4xy\ge 0$$

   $$\frac{{\left(x+y\right)}^2}{4}\ge xy$$.

Đẳng thức xảy ra khi $$x=y.$$

⦁ Áp dụng bất đẳng thức trên, ta có:

$$S=xy\le \frac{{\left(x+y\right)}^2}{4}$$

Suy ra $$S\le \frac{{150}^2}{4}=5625$$.

Dấu bằng xảy ra khi $$x=y=\frac{150}{2}=75$$ (thỏa mãn).

Khi đó, diện tích lớn nhất $$S=5625{\mathrm{m}}^2$$ khi $$x=y=75\mathrm{m}.$$

Vậy tể tưởng đó cần căng sợi dây bao quanh mảnh đất hình hình vuông có cạnh $$75\mathrm{m}$$ để mảnh đất nhận được có diện tích lớn nhất.