Đề thi giữa kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức – Đề 1 (có đáp án)

a) Vì số nguyên tử của $$\mathrm{Ag}$$ và $\mathrm{Cl}$ ở cả hai vế của phương trình phản ứng phải bằng nhau nên ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}x=2\\ 2y=2\end{array}$ suy ra $\{\begin{array}{l}x=2\\ y=1.\end{array}$

Vậy $x=2,y=1.$ Khi đó ta hoàn thiện được phương trình phản ứng hóa học sau cân bằng như sau:

$2\mathrm{Ag}+\mathrm{C}{\mathrm{l}}_2\to 2\mathrm{AgCl}.$

b) Để cặp số $\left(-2;1\right)$ là nghiệm của hệ phương trình $\{\begin{array}{l}2mx+y=m\\ x-my=-1-6m\end{array}$ thì $x=-2$ và $y=1$ phải thỏa mãn cả hai phương trình của hệ.

Thay $x=-2$ và $y=1$ vào hệ phương trình đã cho, ta được $\{\begin{array}{l}2m\cdot \left(-2\right)+1=m\\ -2-m\cdot 1=-1-6m\end{array}$ hay $\{\begin{array}{l}-4m+1=m\\ -2-m=-1-6m\end{array}$ tức là $\{\begin{array}{l}1=5m\\ 5m=1\end{array}$, suy ra $m=\frac{1}{5}$.

Vậy để cặp số $$\left(-2;1\right)$$ là nghiệm của hệ phương trình đã cho thì $m=\frac{1}{5}.$

c) Gọi số có hai chữ số cần tìm là $\overline{xy}\left(x\in \mathbb{N}\ast ,y\in \mathbb{N}\ast ,0<x\le 9,0\le y\le 9\right).$

Nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được số mới là $\overline{yx}$.

Ta có: $\overline{xy}=10x+y$ và $\overline{yx}=10y+x$.

Theo bài, nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được số mới lớn hơn số đã cho là $63$ nên ta có phương trình: $10y+x=\left(10x+y\right)+63$ hay $-9x+9y=63$ nên $x-y=-7.$   (1)

Mặt khác, tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng $99$ nên ta có phương trình: $\left(10x+y\right)+\left(10y+x\right)=99$ hay $11x+11y=99$ nên $x+y=9.$   (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}x-y=-7\\ x+y=9.\end{array}$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ trên, ta được:

$2x=2,$ suy ra $x=1$ (thỏa mãn).

Thay $x=1$ vào phương trình $x+y=9,$ ta được: $1+y=9,$ suy ra $y=8$ (thỏa mãn).

Vậy số cần tìm là $18$.

Đổi $1,221\mathrm{km}=1221\mathrm{m}.$

a) Do $$Bx//AC$$ nên $$\widehat{ACB}=\widehat{CBx}$$ (so le trong).

Vì $\Delta ABC$ vuông tại $$A$$ nên $AB=AC\cdot \tan \widehat{ACB}=1221\cdot \tan 25^{\circ }\approx 569(\mathrm{m}).$

Vậy chiều cao của đài quan sát khoảng: $$3+569=572$$ (m).

b) Đổi: $$60$$ km/h $$=1000$$ m/phút.

Do $$Bx//AC$$ và $$AB\perp AC$$ nên ta có $\widehat{ABx}=\widehat{BAC}=90^{\circ }.$

Quãng đường $$CD$$ là: $$CD=1000\cdot 1=1000$$ (m).

Do đó: $$AD=AC-CD=1221-1000=221$$ (m).

Xét $\Delta ABD$ vuông tại $$A$$ có: $\tan \widehat{ABD}=\frac{AD}{AB}\approx \frac{221}{569}.$ Suy ra $\widehat{ABD}\approx 21^{\circ }14^{\prime }.$

Mà $\widehat{DBx}+\widehat{ABD}=\widehat{ABx}=90^{\circ }.$

Suy ra $\alpha =\widehat{DBx}=90^{\circ }-\widehat{ABD}\approx 90^{\circ }-21^{\circ }14^{\prime }=68^{\circ }46^{\prime }.$

c) Vì $\Delta ABD$ vuông tại $$A$$ nên $AB=BD\cdot \cos \widehat{ABD}.$

Suy ra $BD=\frac{AB}{\cos \widehat{ABD}}\approx \frac{569}{\cos 21^{\circ }14^{\prime }}\approx 610(\mathrm{m}).$

Vậy khoảng cách từ mắt người quan sát đến vị trí $$D$$ khoảng $$610$$ mét.

⦁ Trước hết, ta chứng minh với $a>0$ và $b>0$ luôn có $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}.$$

Thật vậy, với $a>0$ và $b>0,$ ta có:

$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{4}{a+b}=\frac{b\left(a+b\right)+a\left(a+b\right)-4ab}{ab\left(a+b\right)}=\frac{a^2-2ab+b^2}{ab\left(a+b\right)}=\frac{{\left(a-b\right)}^2}{ab\left(a+b\right)}\ge 0.$$\(\)

Do đó $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}.\left(\ast \right)$$

⦁ Áp dụng bất đẳng thức \(\left( * \right)\) cho hai số $2x>0$ và $y+z>0,$ ta có:

$$\frac{1}{2x}+\frac{1}{y+z}\ge \frac{4}{2x+y+z}$$

Suy ra $$\frac{1}{2x+y+z}\le \frac{1}{4}\left(\frac{1}{2x}+\frac{1}{y+z}\right).$$

Áp dụng bất đẳng thức $\left(\ast \right)$ cho hai số $y>0$ và $z>0,$ ta có:

$\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge \frac{4}{y+z}.$

Suy ra $$\frac{1}{y+z}\le \frac{1}{4}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{4y}+\frac{1}{4z}.$$

Do đó: $$\frac{1}{2x+y+z}\le \frac{1}{4}\left(\frac{1}{2x}+\frac{1}{y+z}\right)\le \frac{1}{4}\left(\frac{1}{2x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{4z}\right).$$

Chứng minh tương tự, ta có:

$$\frac{1}{x+2y+z}\le \frac{1}{4}\left(\frac{1}{4x}+\frac{1}{2y}+\frac{1}{4z}\right);$$ $$\frac{1}{x+y+2z}\le \frac{1}{4}\left(\frac{1}{4x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{2z}\right).$$

Khi đó:

$\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le \frac{1}{4}\left(\frac{1}{2x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{4z}\right)+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4x}+\frac{1}{2y}+\frac{1}{4z}\right)+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{2z}\right)$

$=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{4z}+\frac{1}{4x}+\frac{1}{2y}+\frac{1}{4z}+\frac{1}{4x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{2z}\right)$

$=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{4}\cdot 4=1$ (do $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4).$

Vậy $\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le 1.$