Đề thi cuối kì 1 Toán 9 Chân trời sáng tạo – Đề 02 (có đáp án)

Thay vào biểu thức , ta được:

Vậy với giá trị thì

Với , ta có:

  

  

  

  

  

Vậy với thì

Với $x\ge 0$ thì $\sqrt{x}+1\ge 1$, suy ra $\frac{\sqrt{x}+1}{4}\ge \frac{1}{4}$ suy ra $\frac{4}{\sqrt{x}+1}\le 4$.

Do đó, $1+\frac{4}{\sqrt{x}+1}\le 5$ hay $M\le 5$.

Dấu “=” xảy ra khi $\sqrt{x}=0$ hay $x=0$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức $M$ bằng $5$ khi $x=0.$

Điều kiện xác định: .

Ta có:

(không thỏa mãn)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

 

      

      

      

       

       

      

        .

Vậy nghiệm của bất phương trình là

Gọi   lần lượt là khối lượng riêng của chất lỏng loại I và chất lỏng loại II

Theo đề bài, khối lượng riêng của chất lỏng loại I lớn hơn khối lượng riêng của chất lỏng loại II là nên ta có phương trình: (1).

Thể tích của 4 kg chất lỏng loại I là:  

Thể tích của 3 kg chất lỏng loại II là:

Khi đó, tổng thể tích hai loại chất lỏng là:  

Người ta trộn chất lỏng loại I với chất lỏng loại II, do đó khối lượng hỗn hợp là: .

Thể tích của hỗn hợp sau khi pha là:

Khi đó, ta có phương trình:    (2)

Từ (1) và (2), suy ra hệ phương trình

Từ (1) ta có: , thế vào phương trình (2), ta được:

Suy ra (do với mọi

Do đó (thỏa mãn).

Thay vào phương trình , ta được (thỏa mãn).

Vậy khối lượng riêng của chất lỏng loại I và loại II lần lượt là và

Chiều cao của tòa nhà chính là độ dài đoạn thẳng

Xét tam giác vuông tại , ta có:

(1).

⦁ Chứng minh

Xét đường tròn , có: (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung (1)

Xét cân tại  (do  có .

Do đó , suy ra (2).

Từ (1) và (2) suy ra .

Xét và có:  là góc chung và .

Do đó (g.g).

Suy ra hay .

• Chứng minh

Xét cân tại  (do ) có là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao, do đó . Suy ra vuông tại .

Xét vuông tại có là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên

Khi đó, ta có  nên bốn điểm cùng thuộc đường tròn tâm  đường kính .

Suy ra (hai góc nội tiếp cùng chắn cung của đường tròn tâm ). (*)

Xét đường tròn có là hai tiếp tuyến cắt nhau tại , suy ra là phân giác của .

Do đó, .

Mà (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung .

Suy ra (**)

Từ (*) và (**) suy ra .

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị, do đó .

Chiều dài của đáy bể là $2x(\mathrm{m}).$

Diện tích đáy của bể là $2x^2\left({\mathrm{m}}^2\right).$

Chiều cao của bể là: $\frac{72}{2x^2}=\frac{36}{x^2}\left(\mathrm{m}\right)$.

Diện tích xung quanh của bể là: $2\cdot \frac{36}{x^2}\cdot \left(x+2x\right)=\frac{72\cdot 3x}{x^2}=\frac{216}{x}\left({\mathrm{m}}^2\right).$

Diện tích cần xây bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy của bể, và bằng:

$\frac{216}{x}+2x^2\left({\mathrm{m}}^2\right).$

Do $x$ là chiều rộng của bể nên $x>0$, áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

$2x^2+\frac{216}{x}=2x^2+\frac{108}{x}+\frac{108}{x}\ge 3\sqrt[3]{2x^2\cdot \frac{108}{x}\cdot \frac{108}{x}}$.

Suy ra $2x^2+\frac{216}{x}\ge 3\sqrt[3]{23328}\approx 85,72$.

Dấu “=” xảy ra khi $2x^2=\frac{108}{x}$ hay $2x^3=108$, tức là $x=\sqrt[3]{54}\approx 3,78\left(\mathrm{m}\right).$

Vậy muốn diện tích cần xây là tiết kiệm chi phí nhất thì $x\approx 3,78\mathrm{m}.$