Đề thi giữa kì 1 Toán 9 Cánh diều – Đề 1 (có đáp án)

1. Vì đồ thị hàm số $y=ax+b$ đi qua hai điểm $A\left(1;-1\right)$ và $B\left(4;5\right)$ nên thay lần lượt từng cặp giá trị $x,y$ vào hàm số, ta có: $\{\begin{array}{l}-1=a\cdot 1+b\\ 5=a\cdot 4+b\end{array}$ hay $\{\begin{array}{l}a+b=-1\\ 4a+b=5.\end{array}$

Trừ từng vế phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất của hệ phương trình trên, ta được:

$3a=6,$ suy ra $a=2.$

Thay $a=2$ vào phương trình $a+b=-1,$ ta được:

$2+b=-1,$ suy ra $b=-3.$

Vậy hàm số cần tìm là $y=2x-3.$

2. Gọi $x$ (km/h) là vận tốc dự định của ôtô và $y$ (giờ) là thời gian dự định của ôtô để đi hết quãng đường AB $\left(x>10,y>0\right).$

– Quãng đường AB là $xy$ (km).

– Nếu ôtô chạy nhanh hơn 10 km/h mỗi giờ thì đến nơi sớm hơn so với dự định là 3 giờ. Khi đó, ta có:

⦁ Vận tốc của ôtô lúc này là: $x+10$ (km/h).

⦁ Thời gian ôtô đi hết quãng đường AB là: $y-3$ (giờ).

⦁ Quãng đường AB là: $\left(x+10\right)\left(y-3\right)$ (giờ).

Ta có phương trình: $\left(x+10\right)\left(y-3\right)=xy$

 $xy-3x+10y-30=xy$

 $-3x+10y=30$ (1)

– Nếu ôtô chạy chậm hơn 10 km/h mỗi giờ thì đến nơi muộn hơn so với dự định là 5 giờ. Khi đó, ta có:

⦁ Vận tốc của ôtô lúc này là: $x-10$ (km/h).

⦁ Thời gian ôtô đi hết quãng đường AB là: $y+5$ (giờ).

⦁ Quãng đường AB là: $\left(x+10\right)\left(y+5\right)$ (giờ).

Ta có phương trình: $$\left(x-10\right)\left(y+5\right)=xy$$

$xy+5x-10y-50=xy$

$5x-10y=50$ (2)

Từ phương trình (1) và phương trình (2) ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}-3x+10y=30\\ 5x-10y=50\end{array}$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ, ta được: $2x=80,$ suy ra $$x=40$$ (thỏa mãn).

Thay $$x=40$$ vào phương trình (1), ta được:

$-3\cdot 40+10y=30$ hay $10y=150,$ suy ra $y=15$ (thỏa mãn).

Vậy vận tốc dự định của ôtô là 40 (km/h) và thời gian ôtô đi hết quãng đường AB là 15 (giờ).

a) $A=\sin 35^{\circ }+\sin 67^{\circ }-\cos 23^{\circ }-\cos 55^{\circ }$

$=\sin 35^{\circ }+\sin 67^{\circ }-\sin \left(90^{\circ }-23^{\circ }\right)-\sin \left(90^{\circ }-55^{\circ }\right)$

$=\sin 35^{\circ }+\sin 67^{\circ }-\sin 67^{\circ }-\sin 35^{\circ }=0.$

Vậy $A=0.$

b) $B=\cot 20^{\circ }\cdot \cot 40^{\circ }\cdot \cot 50^{\circ }\cdot \cot 70^{\circ }$

$=\cot 20^{\circ }\cdot \cot 40^{\circ }\cdot \tan \left(90^{\circ }-50^{\circ }\right)\cdot \tan \left(90^{\circ }-70^{\circ }\right)$

$=\cot 20^{\circ }\cdot \cot 40^{\circ }\cdot \tan 40^{\circ }\cdot \tan 20^{\circ }$

$=\left(\cot 20^{\circ }\cdot \tan 20^{\circ }\right)\cdot \left(\cot 40^{\circ }\cdot \tan 40^{\circ }\right)$

$=1\cdot 1=1.$

Vậy $B=1.$

Đổi $1,221\mathrm{km}=1221\mathrm{m}.$

a) Do $$Bx//AC$$ nên $$\widehat{ACB}=\widehat{CBx}$$ (so le trong).

Vì $\Delta ABC$ vuông tại $$A$$ nên $AB=AC\cdot \tan \widehat{ACB}=1221\cdot \tan 25^{\circ }\approx 569(\mathrm{m}).$

Vậy chiều cao của đài quan sát khoảng: $$3+569=572$$ (m).

b) Đổi: $$60$$ km/h $$=1000$$ m/phút.

Do $$Bx//AC$$ và $$AB\perp AC$$ nên ta có $\widehat{ABx}=\widehat{BAC}=90^{\circ }.$

Quãng đường $$CD$$ là: $$CD=1000\cdot 1=1000$$ (m).

Do đó: $$AD=AC-CD=1221-1000=221$$ (m).

Xét $\Delta ABD$ vuông tại $$A$$ có: $\tan \widehat{ABD}=\frac{AD}{AB}\approx \frac{221}{569}.$ Suy ra $\widehat{ABD}\approx 21^{\circ }14^{\prime }.$

Mà $\widehat{DBx}+\widehat{ABD}=\widehat{ABx}=90^{\circ }.$

Suy ra $\alpha =\widehat{DBx}=90^{\circ }-\widehat{ABD}\approx 90^{\circ }-21^{\circ }14^{\prime }=68^{\circ }46^{\prime }.$

c) Vì $\Delta ABD$ vuông tại $$A$$ nên $AB=BD\cdot \cos \widehat{ABD}.$

Suy ra $BD=\frac{AB}{\cos \widehat{ABD}}\approx \frac{569}{\cos 21^{\circ }14^{\prime }}\approx 610(\mathrm{m}).$

Vậy khoảng cách từ mắt người quan sát đến vị trí $$D$$ khoảng $$610$$ mét.

Giải bất phương trình:

$$\frac{x-ab}{a+b}+\frac{x-bc}{b+c}+\frac{x-ac}{a+c}>a+b+c$$

$$\frac{x-ab}{a+b}+\frac{x-bc}{b+c}+\frac{x-ac}{a+c}-a-b-c>0$$

$$\left(\frac{x-ab}{a+b}-c\right)+\left(\frac{x-bc}{b+c}-a\right)+\left(\frac{x-ac}{a+c}-b\right)>0$$

$$\left(\frac{x-ab-ac-bc}{a+b}\right)+\left(\frac{x-bc-ab-ac}{b+c}\right)+\left(\frac{x-ac-ab-bc}{a+c}\right)>0$$

$$\left(x-ab-ac-bc\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\right)>0$$ (*)

Nhận thấy $$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}>0$$ với $$a,b,c>0$$.

Do đó, từ (*) ta suy ra $$x-ab-ac-bc>0$$ suy ra $$x>ab+bc+ac$$$$\left(a,b,c>0\right)$$.

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là $$x>ab+bc+ac$$ với $$\left(a,b,c>0\right)$$