Đề thi giữa kì 1 Toán 9 năm 2025-2026 THCS Hoàng Hoa Thám (Hà Nội) có đáp án

1) $-3\left(x+2\right)-24\ge 7x$.           

 $\begin{array}{l}-3x-6-24\ge 7x\\ -3x-7x\ge 6+24\\ -10x\ge 30\\ x\le -10\end{array}$

Vậy bất phương trình có tập nghiệm $x\le -10$.

2) $5\left(x+2\right)+\left(x+2\right)\left(x-2\right)=0$.

 $$\begin{array}{l}\left(x+2\right)\left(5+x-2\right)=0\\ \left(x+2\right)\left(x+3\right)=0\end{array}$$

 $x+2=0$ hoặc $x+3=0$

 $x=-2$ hoặc $x=-3$

Vậy phương trình có hai nghiệm $x\in \left\{-2;-3\right\}.$.

3) $\frac{x+1}{x-3}-\frac{x-1}{x}=\frac{7}{x^2-3x}$. (Điều kiện: $x\ne 0$ và $x\ne 3$ )

 $\begin{array}{l}\frac{x\left(x+1\right)}{x\left(x-3\right)}-\frac{\left(x-1\right)\left(x-3\right)}{x\left(x-3\right)}=\frac{7}{x\left(x-3\right)}\\ x^2+x-\left(x^2-4x+3\right)=7\\ x^2+x-x^2+4x-3-7=0\\ 5x=10\\ x=2\left(\mathrm{tm}\right)\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm $x=2$.

4) $\{\begin{array}{l}3x-y=5\\ 5x+2y=23\end{array}$.

$\{\begin{array}{l}6x-2y=10\\ 5x+2y=23\end{array}$

$\{\begin{array}{l}11x=33\\ 5x+2y=23\end{array}$

$\{\begin{array}{l}x=3\\ 5.3+2y=23\end{array}$

$\{\begin{array}{l}x=3\\ 2y=8\end{array}$

$\{\begin{array}{l}x=3\\ y=4\end{array}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $\left(x;y\right)=\left(3;4\right)$.

Gọi số chiếc bút mà An có thể mua là $x$ (chiếc, x là số nguyên dương).

Số tiền mua bút là $8000x$ (đồng).

Tổng số tiền mà An có thể mua đồ dùng là: $8000x+45000$ (đồng).

Mà An có $100000$ đồng nên có bất phương trình:

                                        $\begin{array}{l}8000x+45000\le 100000\\ 8000x\le 55000\\ x\le 6,875\end{array}$

Vậy An có thể mua tối đa $6$ chiếc bút.

Gọi thời gian vòi 1, vòi 2 chảy một mình đầy bể lần lượt là $x,y$ (giờ) điều kiện: $x,y>3$

Mỗi giờ vòi 1 chảy được: $\frac{1}{x}$ bể

Mỗi giờ vòi 1 chảy được: $\frac{1}{y}$ bể

Vì 1 giờ hai vòi chảy được $\frac{1}{3}$ bể nên ta có phương trình: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{3}\left(1\right)$

Vòi 1 chảy trong 20 phút $=\frac{1}{3}$ giờ được $\frac{1}{3x}$ (bể)

Vòi 2 chảy trong 30 phút $=\frac{1}{2}$ giờ được $\frac{1}{2y}$ (bể)

Do cả hai vòi chảy được $\frac{1}{8}$ bể nên ta có phương trình: $\frac{1}{3x}+\frac{1}{2y}=\frac{1}{8}\left(2\right)$

Từ (1) và (2) có hệ phương trình:

$\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{3}\\ \frac{1}{3x}+\frac{1}{2y}=\frac{1}{8}\end{array}$

$\{\begin{array}{l}\frac{1}{3x}+\frac{1}{3y}=\frac{1}{9}\\ \frac{1}{3x}+\frac{1}{2y}=\frac{1}{8}\end{array}$

$\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{3}\\ \frac{1}{6y}=\frac{1}{72}\end{array}$

$\{\begin{array}{l}x=4\\ y=12\end{array}$ (TMĐK)

Vậy thời gian vòi 1, vòi 2 chảy một mình đầy bể lần lượt là 4 (giờ); 12 (giờ)

$A=\sin 15^{\circ }-\cos 64^{\circ }+\sin 26^{\circ }-\cos 75^{\circ }+5$

$=\sin 15^{\circ }-\sin 26^{\circ }+\sin 26^{\circ }-\sin 15^{\circ }+5$

$=5.$

Gọi chiều cao cái tháp là $AB$.

Khoảng cách của hai người bên kia sông đến chân tháp lần lượt là $$BC$$ và $$BD$$.

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có: $BC=AB.\cot C=17.\cot 60^{\circ }=\frac{17\sqrt{3}}{3}\left(\mathrm{m}\right)$

Xét $\Delta ABD$ vuông tại $A$ có: $BD=AB.\cot D=17.\cot 30^{\circ }=17\sqrt{3}\left(\mathrm{m}\right)$

Khi đó $DC=BD-BC=17\sqrt{3}-\frac{17\sqrt{3}}{3}\approx 20\left(\mathrm{m}\right)$

Vậy khoảng cách giữa hai điểm quan sát khoảng 20 m.

a) Xét tam giác $$ABC$$ vuông tại $$A$$ có $$\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^{\circ }$$

Hay $$\widehat{ABC}+30^{\circ }=90^{\circ }$$

Suy ra $$\widehat{ABC}=90^{\circ }-30^{\circ }=60^{\circ }$$.

Ta có $$\sin \widehat{ACB}=\frac{AB}{BC}$$ hay $$\sin 30^{\circ }=\frac{AB}{20}=\frac{1}{2}$$ nên $$AB=10$$ (cm);

     $$\cos \widehat{ACB}=\frac{AC}{BC}$$ hay $$\cos 30^{\circ }=\frac{AC}{20}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ nên $$AC=10\sqrt{3}\left(\mathrm{cm}\right)$$.

b) Xét $$\Delta ADH$$ và $$\Delta AHB$$ có:

$$\widehat{ADH}=\widehat{AHB}=90^{\circ }$$ và $$\widehat{DAH}$$ là góc chung

Do đó $\Delta ADH\backsim \Delta AHB$ (g.g).

Suy ra $$\frac{AD}{AH}=\frac{AH}{AB}$$ nên $$A{H}^2=AD\cdot AB.$$ (1)

Xét $$\Delta AEH$$ và $$\Delta AHC$$ có:

$$\widehat{AEH}=\widehat{AHC}=90^{\circ }$$ và $$\widehat{EAH}$$ là góc chung

Do đó $\Delta AEH\backsim \Delta AHC$ (g.g).

Suy ra $$\frac{AE}{AH}=\frac{AH}{AC}$$ nên $$A{H}^2=AC\cdot AE.$$ (2)

Từ (1) và (2) ta có $$AD.AB=AE.AC$$.

c) Xét $$\Delta IBA$$ và $\Delta ABM$ có:

$\hat{I}=\hat{A}=90^{\circ }$, $\widehat{MBA}$ là góc chung

Do đó $\Delta IBA\backsim \Delta ABM$ (g.g).

Suy ra $\widehat{AMB}=\widehat{IAB}$ nên $\sin \widehat{AMB}=\sin \widehat{IAB}=\frac{BI}{AB}$. $\left(3\right)$

Tam giác $$ABC$$ vuông tại $$A$$ có $\sin \widehat{ACB}=\frac{AB}{BC}$. $\left(4\right)$

Từ $\left(3\right)$ và $\left(4\right)$ suy ra: $\sin \widehat{AMB}.\sin \widehat{ACB}=\frac{BI}{AB}.\frac{AB}{BC}=\frac{BI}{BC}$. $\left(\ast \right)$

Xét $$\Delta HBA$$ và $\Delta ABC$ có :

$\hat{H}=\hat{A}=90^{\circ }$, $\widehat{ABC}$ là góc chung

Do đó $\Delta HBA\backsim \Delta ABC$ (g.g).

Suy ra $\frac{HB}{AB}=\frac{BA}{CB}$ nên $A{B}^2=BH.BC$  (5)

Mặt khác, từ $\Delta IBA\backsim \Delta ABM$ suy ra $\frac{AB}{BM}=\frac{BI}{AB}$ nên $A{B}^2=BI.BM$ $\left(6\right)$

Từ $\left(5\right)$ và $\left(6\right)$ suy ra: $BI.BM=A{B}^2=BH.BC$ nên $\frac{BI}{BC}=\frac{BH}{BM}$.

Xét $\Delta BIH$ và $\Delta BCM$ có:

$\frac{BI}{BC}=\frac{BH}{BM}$ (cmt) và $\widehat{CBM}$ là góc chung

Do đó $\Delta BIH\backsim \Delta BCM$ (c.g.c).

Suy ra $\frac{BI}{BC}=\frac{HI}{MC}$  $\left(\ast \ast \right)$.

Từ $\left(\ast \right)$ và $\left(\ast \ast \right)$ suy ra: $\sin \widehat{AMB}.\sin \widehat{ACB}=\frac{HI}{CM}$.

Gọi số lần giảm giá $1000$ đồng là $x$ (lần), $x\in \mathbb{N}$.

Giá bán mới cho mỗi quả bưởi là : $50000-1000x$ (đồng).

Số lượng quả bưởi bán ra mỗi ngày sau giảm giá là : $40+10x$ (quả).

Lợi nhuận trên mỗi quả bưởi là : $50000-1000x-30000=20000-1000x$ (đồng).

Tổng lợi nhuận là $\left(20000-1000x\right)\left(40+10x\right)$ (đồng).

Ta có:

$\left(20000-1000x\right)\left(40+10x\right)$

$=-10000x^2+160000x+800000$

$=-10000\left(x^2-16x-80\right)$

$=-10000\left[{\left(x-8\right)}^2-144\right]\le 1440000$

Dấu  xảy ra khi $x=8$.

Vậy để thu được lợi nhuận cao nhất thì cần giảm giá $8$ lần, khi đó giá bán 1 quả bưởi là

$50000-1000.8=42000$ (đồng).