Đề thi Giữa kì 2 Toán 9 năm 2024-2025 THCS Ba Đình (Hà Nội) có đáp án

a) Thay $$x=-3,y=18$$ vào công thức hàm số$$y=\left(m-3\right)x^2$$, ta được:

$$18=\left(m-3\right)\cdot {\left(-3\right)}^2$$

$$9\left(m-3\right)=18$$

$m-3=2$

$$m=5$$ (thỏa mãn).

Vậy $$m=5$$.

b) Với $$m=5$$ hàm số có dạng $$y=2x^2$$.

Phương trình xác định hoành độ giao điểm của $$\left(d\right)$$ và $$\left(P\right)$$ là:

$2x^2=-7x+4$

$2x^2+7x-4=0$

$x=\frac{1}{2}$ hoặc $x=-4$.

Với $x=\frac{1}{2}$ ta có $y=\frac{1}{2}$.

Với ta có $y=32$.

Suy ra toạ độ giao điểm của $\left(d\right)$ và $\left(P\right)$ là $\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$ và $\left(-4;32\right)$.

1) Thay $x=25$ (tmđk) vào biểu thức $P$ ta được: $P=\frac{\sqrt{25}-6}{\sqrt{25}}=\frac{-1}{5}$.

b) Với $x>0, x\ne 9$, ta có:

$Q=\frac{6-8\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}+\frac{2}{\sqrt{x}+3}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}$

$Q=\frac{6-8\sqrt{x}+2\sqrt{x}-6+x+3\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}$

$Q=\frac{x-3\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}$

$Q=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}$.

c) Với $x>0, x\ne 9$, ta có: $T=\frac{\sqrt{x}-6}{\sqrt{x}+3}=1-\frac{9}{\sqrt{x}+3}$.

Vì $T\in \mathbb{Z}$ nên $\frac{9}{\sqrt{x}+3}\in \mathbb{Z}$

TH1: $x\in \mathbb{Z},\sqrt{x}$ là số vô tỉ, loại.

TH2: $x\in \mathbb{Z},\sqrt{x}\in \mathbb{Z}$ nên $\sqrt{x}+3\in$Ư(9) , mà $\sqrt{x}+3>3$ nên $\sqrt{x}+3=9$.

Tính được $x=36$ và $T=0$ (không thoả mãn).

Gọi số xe đội dự định sử dụng là $x$ (xe, $x\in \mathbb{N}*$).

Số tấn hàng mỗi xe phải chở theo dự định là $\frac{60}{x}$ (tấn).

Số xe thực tế đội đã sử dụng là $x–2$ (xe).

Số tấn hàng mỗi xe phải chở thực tế là $\frac{60}{x-2}$ (tấn).

Vì thực tế mỗi xe phải chở nhiều hơn so với dự định 1 tấn nên ta có phương trình:

$\frac{60}{x-2}-\frac{60}{x}=1$

$\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x}=\frac{1}{60}$

$\frac{x-\left(x-2\right)}{x\left(x-2\right)}=\frac{1}{60}$

$\frac{2}{x\left(x-2\right)}=\frac{1}{60}$

$x^2-2x=120$

$x=12$ (thỏa mãn) hoặc $x=-10$ (không thỏa mãn).

Vậy theo kế hoạch đội dự định sử dụng 12 xe để vận chuyển.

a) Với $$m=1$$ phương trình có dạng $x^2-3x+1=0$.

Phương trình có $$\Delta ={\left(-3\right)}^2-4\cdot 1\cdot 1=5>0$$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{3+\sqrt{5}}{2};x_2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$.

b) Phương trình đã cho có $$\Delta ={\left(-3\right)}^2-4\cdot 1\cdot m=9--4m.$$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì $$\Delta >0$$ hay $m<\frac{9}{4}$.

Theo định lí Viète, ta có: $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=3\left(1\right)\\ x_1{x}_2=m\left(2\right)\end{array}$

Theo bài, $x_1-2x_2=6$ nên $$x_1=2x_2+6$$, thay vào (1) ta có:

$2x_2+6+x_2=3$ nên $x_2=-1$.

Suy ra $$x_1=4$$.

Thay $$x_1=4$$ và $x_2=-1$ vào (2), ta được: $m=-4$.

a) Bán kính đáy của thùng tôn là $$0,6:2=0,3$$ (m).

Thể tích thùng tôn đó là: $$V=\pi R^{2}h=\pi .0,3^2.1\approx 0,2826$$ (m³).

b) Diện tích xung quanh của thùng tôn đó là: $S=2\pi Rh=0,6\pi$ (m²).

Số tiền doanh nghiệp cần chi là: $0,6\pi .100.500\approx 94200$ (nghìn đồng).

Vậy số tiền doanh nghiệp cần chi khoảng 94 200 nghìn đồng (94 200 000 đồng).

Chứng minh $\widehat{ADB}=\widehat{AEB}=90^{\circ }$ .

$\Delta ADB$ vuông nội tiếp đường tròn đường kính $BE$.

$\Delta AEB$ vuông nội tiếp đường tròn đường kính $BE$.

Suy ra 4 điểm $A,B,D,E$ thuộc đường tròn đường kính $BE$.

b) $$\left(O\right)$$ có: $\widehat{ACK}=90^{\circ }$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\widehat{ABD}=\widehat{ACK}$ (hai góc nội tiếp chắn cung $AC$)

Chứng minh được (g.g)

Suy ra $\frac{AB}{AK}=\frac{AD}{AC}$ nên $AB.AC=2AD.R$

c)

$$\Delta BOC$$ cân tại $$O$$ có $$OM$$ là đường trung tuyến đồng thời là đường cao, suy ra $$OM$$ vuông góc với $$BC$$, nên $\widehat{OMB}=90^{\circ }$.

$\widehat{OFB}=90^{\circ }$

Suy ra tứ giác $$BOFM$$ nội tiếp

Tứ giác $$BOFM$$ nội tiếp nên $\widehat{BOM}=\widehat{BFM}$

Mà $\widehat{BOM}=\frac{1}{2}\widehat{BOC}$, $\widehat{BAE}=\frac{1}{2}\widehat{BOC}$

Suy ra $\widehat{BAE}=\widehat{BFM}$ (1)

Tứ giác $$AEFB$$ nội tiếp nên $\widehat{AFE}=\widehat{ABE}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{AFE}+\widehat{BFM}=\widehat{ABE}+\widehat{BAE}=90^{\circ }$

Suy ra $\widehat{AFE}+\widehat{BFM}+\widehat{AFB}=180^{\circ }$ nên $E,F,M$ thẳng hàng.

Gọi chiều ngang phần chứa chữ lần là $$x$$ (cm, $$x>0)$$

Chiều dọc phần chứa chữ là $\frac{384}{x}$ (cm)

Chiều ngang và chiều dọc của trang tạp chí là $$x+4$$ và$\frac{384}{x}+6$ (cm).

Diện tích trang giấy là $S=\left(x+4\right)\left(\frac{384}{x}+6\right)$ (cm²).

⦁ Chứng minh bất đẳng thức Cauchy.

⦁ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương:

$S=6x+\frac{1536}{x}+408\ge 2\sqrt{6x.\frac{1536}{x}}+408=600$.

Dấu = xảy ra khi $x=16$

Vậy để diện tích chữ là 384 cm² thì diện tích trang tạp chí nhỏ nhất là 600 cm² khi chiều ngang 20 cm, chiều dọc 30 cm.