Đề thi Giữa kì 2 Toán 9 năm 2024-2025 THCS Ngô Sĩ Liên (Hà Nội) có đáp án

a) Tần số ghép nhóm của nhóm $\left[20;30\right)$ là $$n_2=15$$.

Tần số tương đối ghép nhóm của nhóm $\left[20;30\right)$ là: $f_2=\frac{n_2}{N}.100\%=\frac{15}{50}.100\%=30\%$.

Vậy tần số ghép nhóm và tần số tương đối ghép nhóm của nhóm $\left[20;30\right)$ lần lượt là $$15$$ và $30\%$.

b) Vẽ biểu đồ:

a) Không gian mẫu của phép thử là:

$\mathrm{\Omega }=\left\{1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12;13;14;15;16;17;18;19;20\right\}$.

b) Từ kết quả câu a), ta có không gian mẫu $\mathrm{\Omega }$ có $$20$$ phần tử.

Biến cố $$A$$: “Số xuất hiện trên viên bi được lấy ra chia cho $4$ dư $$1$$”.

 Có $5$ kết quả thuận lợi cho biến cố $$A$$ là: $1;5;9;13;17$.

Xác suất của biến cố $A$ là: $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{5}{20}=\frac{1}{4}$.

Vậy xác suất của biến cố $A$ bằng $\frac{1}{4}$.

a) Thay $x=9$(thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $P$, ta được:

$P=\frac{9+3}{\sqrt{9}-2}=\frac{12}{3-2}=\frac{12}{1}=12$.

Vậy $P=12$ khi $x=9$.

b) Với $$x>0,x\ne 4$$, ta có:

$$Q=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}+\frac{5\sqrt{x}-2}{x-4}$$.

$$=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}+\frac{5\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}$$.

$$=\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}+\frac{5\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}$$.

$$=\frac{x-3\sqrt{x}+2+5\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}$$.

$$=\frac{x+2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}$$.

$$=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}$$.

$$=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}$$.

Vậy $$Q=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}$$ (điều phải chứng minh).

c) Với $$x>0,x\ne 4$$, ta có:

$$\frac{P}{Q}=\frac{x+3}{\sqrt{x}-2}:\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}$$.

$$=\frac{x+3}{\sqrt{x}-2}.\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}}$$.

$$=\frac{x+3}{\sqrt{x}}$$.

$$=\sqrt{x}+\frac{3}{\sqrt{x}}$$.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương $$\sqrt{x}$$ và $$\frac{3}{\sqrt{x}}$$, ta được:

$$\sqrt{x}+\frac{3}{\sqrt{x}}\ge 2\sqrt{\sqrt{x}.\frac{3}{\sqrt{x}}}=2\sqrt{3}$$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $$\sqrt{x}=\frac{3}{\sqrt{x}}$$.

Suy ra $$x=3$$.

Vậy $$\frac{P}{Q}\ge 2\sqrt{3}$$ (điều phải chứng minh).

Gọi số tiền bác Toàn đầu tư vào khoản đầu tư thứ nhất, thứ hai lần lượt là $x,y$ (triệu đồng).

Điều kiện: $0<x,y<500$.

Vì tổng số tiền bác Toàn đầu tư vào hai khoản đầu tư là $500$ triệu đồng nên ta có phương trình:

$x+y=500$ (1)

Vì lãi suất cho khoản đầu tư thứ nhất là $6\%$/năm nên số tiền lãi thu được cho khoản đầu tư thứ nhất là: $x.6\%=0,06x$ (triệu đồng).

Vì lãi suất cho khoản đầu tư thứ hai là $8\%$ năm nên số tiền lãi thu được cho khoản đầu tư thứ hai là: $$y.8\%=0,08.y$$ (triệu đồng).

Do tổng số tiền lãi bác Toàn thu được là $34$triệu đồng nên ta có phương trình: $0,06x+0,08y=34$ (2)

Từ (1), (2), ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}x+y=500\\ 0,06x+0,08y=34\end{array}$

Suy ra $\{\begin{array}{l}y=500-x\\ 0,06x+0,08y=34\left(2\right)\end{array}$

Thế $y=500-x$ vào phương trình (2), ta được: $0,06x+0,08.\left(500-x\right)=34$.

Tức là, $0,06x+40-0,08x=34$.

Suy ra $0,02x=6$.

Do đó $x=\frac{6}{0,02}$.

Vì vậy $x=300$.

Với $x=300$, ta có: $y=500-x=500-300=200$.

So với điều kiện $0<x,y<500$, ta nhận $x=300;y=200$.

Vậy số tiền bác Toàn đã đầu tư vào khoản đầu tư thứ nhất, thứ hai lần lượt là $300$ triệu đồng và $200$ triệu đồng.

a) Chu vi bể tắm là: $C=2\pi r\approx 2.3,14.3=18,84\left(m\right)$.

Vậy chu vi bể tắm là $18,84m$.

b) Đổi: $50cm=0,5m$.

Độ dài đoạn $OB$ là: $OB=OA-AB=3-0,5=2,5\left(m\right)$.

Diện tích bề mặt của $16$ tấm ván là: $3,14.\left(3^2-2,5^2\right)=3,14.\left(9-6,25\right)=8,635\left(m^2\right)$

Đổi: $8,635m^2=863,5d{m}^2$.

Diện tích bề mặt của mỗi tấm ván là: $\frac{863,5}{16}\approx 54\left(d{m}^2\right)$.

Vậy diện tích bề mặt của mỗi tấm ván là $54d{m}^2$.

1) Vì $AD$ là đường cao của $\Delta ABC$ nên $AD\perp BC$ tại $D$.

Suy ra $\widehat{ADB}=90^{\circ }$.

Do đó ba điểm $A,D,B$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AB$ (1)

Vì $BE$ là đường cao của $\Delta ABC$ nên $BE\perp AC$ tại $E$.

Suy ra $\widehat{AEB}=90^{\circ }$.

Do đó ba điểm $A,E,B$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AB$ (2)

Từ (1) và (2), ta thu được bốn điểm $A,D,B,E$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AB$.

2) Ta có:

⦁ $\widehat{EBD}=\widehat{EAD}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn của đường tròn đường kính $AB$).

⦁ $\widehat{CAG}=\widehat{CBG}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn của đường tròn $\left(O\right)$).

Do đó $\widehat{EBD}=\widehat{CBG}$.

Vậy $BC$ là tia phân giác của $\widehat{HBG}$.

3) Xét $\Delta ABC$ có các đường cao $AD,BE$ cắt nhau tại $H$ nên $H$ là trực tâm của $\Delta ABC$.

Suy ra $CH\perp AB$.

Do đó $\widehat{HCD}+\widehat{ABD}=90^{\circ }$.

Mà $\widehat{BAD}+\widehat{ABD}=90^{\circ }$ (do $\Delta ABD$ vuông tại $D$).

Suy ra $\widehat{HCD}=\widehat{BAD}$.

Xét $\Delta ADB$ và $\Delta CDH$, có:

$\widehat{ADB}=\widehat{CDH}=90^{\circ }$;

$\widehat{BAD}=\widehat{HCD}$ (chứng minh trên).

Do đó (g.g).

Suy ra $\frac{AD}{CD}=\frac{AB}{CH}$.

Vậy $CH.AD=CD.AB$ (điều phải chứng minh).

4) Kẻ đường kính $AK$ của đường tròn $\left(O\right)$.

Xét đường tròn $\left(O\right)$ đường kính $AK$, có:

$\widehat{ABK}=\widehat{ACK}=90^{\circ }$ (hai góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra $AB\perp BK;AC\perp CK$.

Vì $AB\perp BK;CH\perp AB$ nên $BK\parallel CH$.

Vì $AC\perp CK;BH\perp AC$ nên $CK\parallel BH$.

Xét tứ giác $BHCK$, có: $CK\parallel BH$ và $BK\parallel CH$.

Suy ra tứ giác $BHCK$ là hình bình hành.

Hình bình hành $BHCK$, có: $N$ là trung điểm của $BC$ (giả thiết).

Suy ra $N$ cũng là trung điểm $HK$.

Xét $\Delta AHK$, có: $O,M$ lần lượt là trung điểm $AK,AH$.

Suy ra $OM$ là đường trung bình của $\Delta AHK$.

Do đó $OM\parallel HK$.

Vì vậy $\widehat{OMD}=\widehat{NHD}$ (hai góc đồng vị).

Ta có: $BD$ vừa là đường cao, vừa là đường phân giác của $\Delta BHG$.

Suy ra $\Delta BHG$ cân tại $B$.

Do đó $BD$ cũng là đường trung trực của $\Delta BHG$.

Vì vậy $BD$ là đường trung trực của đoạn thẳng $HG$.

Mà $N\in BD$.

Suy ra $NH=NG$.

Khi đó $\Delta NHG$ cân tại $N$.

Vì vậy $\widehat{NHD}=\widehat{NGD}$.

Mà $\widehat{OMD}=\widehat{NHD}$ (chứng minh trên).

Vậy $\widehat{OMD}=\widehat{NGD}$.

Gọi chiều rộng của đáy bể là $$x$$ (Điều kiện: $x>0$).

Suy ra chiều dài của đáy bể là $2x$.

Gọi chiều cao của bể là $$h$$ (Điều kiện: $$h>0$$).

Thể tích của bể là: $V=x\cdot 2x\cdot h$.

Suy ra $h=\frac{V}{2x^2}=\frac{36}{2x^2}=\frac{18}{x^2}$.

Diện tích bể cần xây là: $S=2\left(x+2x\right)h+x\cdot 2x$

$=6x\cdot \frac{18}{x^2}+2x^2$

$=\frac{108}{x}+2x^2$

$=\frac{54}{x}+\frac{54}{x}+2x^2$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương $\frac{54}{x};\frac{54}{x};2x^2$, ta được:

$\frac{54}{x}+\frac{54}{x}+2x^2\ge 3.\sqrt[3]{\frac{54}{x}.\frac{54}{x}.2x^2}$.

$=3.\sqrt[3]{5832}=3.18=54$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\frac{54}{x}=2x^2$.

Suy ra $2x^3=54$.

Do đó $x^3=27$.

Vì vậy $x=3$.

Khi đó diện tích xây nhỏ nhất của bể là $54\left(m^2\right)$.

Muốn số tiền thuê nhân công nhỏ nhất thì diện tích xây phải nhỏ nhất (do giá thuê là $300000$ đồng$/{\mathrm{m}}^2$không thay đổi).

Số tiền thuê nhân công nhỏ nhất để xây bể là: $$54.300000=16200000$$ (đồng).

Vậy số tiền thuê nhân công nhỏ nhất để xây bể là $$16200000$$ đồng.