Đề thi Giữa kì 2 Toán 9 năm 2024-2025 THCS Nguyễn Tri Phương (Hà Nội) có đáp án

1) Tính giá trị của $A$ tại $x=25.$

Thay $x=25$(thỏa mãn điều kiện $x>0;x\ne 4$) vào biểu thức $A$, ta có:

$A=\frac{\sqrt{25}+5}{\sqrt{25}}=\frac{5+5}{5}=\frac{10}{5}=2$.

Vậy $A=2$ khi $x=25.$

2) Chứng minh $B=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}$.

Ta có: $B=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}-\frac{2}{\sqrt{x}-2}+\frac{6+\sqrt{x}}{x-4}$

$=\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}-\frac{2\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}+\frac{6+\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}$

$=\frac{x-\sqrt{x}-2-2\sqrt{x}-4+6+\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}$

$=\frac{x-2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}$

$=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}$

$=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}$.

Vậy $B=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}$, với $x>0;x\ne 4$.

3) Cho $P=A.B$. Tìm giá trị của $x$ để $P$ là số nguyên.

Ta có: $$P=A.B=\frac{\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}}.\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}$$

$$=\frac{\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}+2}$$

$$=\frac{\sqrt{x}+2+3}{\sqrt{x}+2}$$

$$=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+2}+\frac{3}{\sqrt{x}+2}$$

$$=1+\frac{3}{\sqrt{x}+2}$$.

Ta có: $3>0$ và $\sqrt{x}+2>0$, với $x>0;x\ne 4$.

Suy ra $\frac{3}{\sqrt{x}+2}>0$.

Do đó $1+\frac{3}{\sqrt{x}+2}>1+0$.

Vì vậy $P>1$ (1)

Ta lại có: $\sqrt{x}+2>2$, với $x>0;x\ne 4$.

Suy ra $\frac{3}{\sqrt{x}+2}<\frac{3}{2}$.

Khi đó $1+\frac{3}{\sqrt{x}+2}<1+\frac{3}{2}$.

Vì vậy $P<\frac{5}{2}$ (2)

Từ (1) và (2), ta suy ra $1<P<\frac{5}{2}$.

Mà $P$ là số nguyên (giả thiết).

Do đó $P=2$ hay $$1+\frac{3}{\sqrt{x}+2}=2$$.

Vì vậy $$\frac{3}{\sqrt{x}+2}=1$$ (vì $$\sqrt{x}+2\ne 0$$, với $x>0;x\ne 4$).

Suy ra $$3=\sqrt{x}+2$$.

Khi đó $$\sqrt{x}=1$$.

Vì vậy $$x=1$$.

So với điều kiện $x>0;x\ne 4$, ta nhận $$x=1$$.

Vậy $x=1$ thì $P$ là số nguyên.

Số hộp mù sản xuất trong thực tế là: $3600+150=3750$ (hộp).

Gọi mỗi ngày nhà sản xuất đã làm được số hộp mù là $x$ (hộp).

Điều kiện: $x\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Thời gian dự định làm xong số hộp mù là: $\frac{3600}{x}$ (ngày).

Thực tế mỗi ngày nhà sản xuất đã làm được số hộp mù là: $x+50$ (hộp).

Thời gian thực tế làm xong số hộp mù dự định và làm thêm được $150$ hộp so với dự kiến là: $\frac{3750}{x+50}$ (ngày).

Vì nhà sản xuất đã hoàn thành công việc trước $3$ ngày nên ta có phương trình:

$\frac{3600}{x}-\frac{3750}{x+50}=3$ (Điều kiện: $x\in {\mathbb{N}}^{\ast }$).

Suy ra $\frac{3600\left(x+50\right)}{x\left(x+50\right)}-\frac{3750x}{x\left(x+50\right)}=\frac{3x\left(x+50\right)}{x\left(x+50\right)}$.

Do đó $3600\left(x+50\right)-3750x=3x\left(x+50\right)$.

Vì vậy $3600x+180000-3750x=3x^2+150x$.

Suy ra $3x^2+300x-180000=0$ hay $x^2+100x-60000=0$.

Tức là, $x^2+300x-200x-60000=0$.

Khi đó $x\left(x+300\right)-200\left(x+300\right)=0$.

Vì vậy $\left(x-200\right)\left(x+300\right)=0$.

Suy ra $x-200=0$ hoặc $x+300=0$.

Do đó $x=200$ hoặc $x=-300$.

So với điều kiện $x\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, ta nhận $x=200$.

Vậy theo dự kiến, mỗi ngày nhà sản xuất làm xong $200$ hộp mù.

Diện tích miếng pizza có bán kính $18$ cm là: $S_1=\frac{\pi {.18}^2.45^{\circ }}{360^{\circ }}=\frac{81\pi }{2}(c{m}^2)$

Diện tích miếng pizza có bán kính $16$ cm là: $S_2=\frac{\pi {.16}^2.60^{\circ }}{360^{\circ }}=\frac{128\pi }{3}(c{m}^2)$

Vì $\frac{128\pi }{3}>\frac{81\pi }{2}$ nên $S_2>S_1$.

Vậy người mua nên mua miếng pizza có bán kính $16$ cm và góc ở tâm $60^{\circ }$ để có lợi hơn nếu người mua thích hai loại bánh như nhau.

a) Thay $a=2$ vào phương trình (1), ta được: $x^2-3x+2=0$.

Suy ra $\left(x-2\right)\left(x-1\right)=0$.

Do đó $x-2=0$ hoặc $x-1=0$.

Vì vậy $x=2$ hoặc $x=1$.

Vậy khi $a=2$ thì phương trình (1) có hai nghiệm là $x=2$ hoặc $x=1$.

b) Ta có: $x^2-3x+a=0$ (1)

Ta có: $\Delta =b^2-4ac={\left(-3\right)}^2-\mathrm{4.1.}a=9-4a$.

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì $\Delta >0$.

Suy ra $9-4a>0$.

Do đó $4a<9$.

Vì vậy $a<\frac{9}{4}$.

Áp dụng định lí Viète, ta có:

$\{\begin{array}{l}S=x_1+x_2=-\frac{-3}{1}=3\\ P=x_1.x_2=\frac{a}{1}=a\end{array}$

Theo đề, ta có: $x_1^2+x_2^2=-x_1^2{x}_2^2+8$.

Suy ra .

$x_1^2+x_2^2+x_1^2{x}_2^2-8=0$Vì vậy $9-2a+a^2-8=0$.

Suy ra $a^2-2a+1=0$.

Khi đó ${\left(a-1\right)}^2=0$.

Vì vậy $a-1=0$.

Tức là, $a=1$.

So với điều kiện $a<\frac{9}{4}$, ta nhận $a=1$.

Vậy $a=1$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

1) Vì $OD\perp BC$ tại $H$ nên $\Delta BHD$ vuông tại $H$.

Suy ra $\Delta BHD$ nội tiếp đường tròn đường kính $$BD$$ (1)

Ta có: $\widehat{AEB}=90^{\circ }$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính $AB$)

Suy ra $BE\perp AD$ tại $$E$$.

Vì $\Delta BED$ vuông tại $$E$$ nên $\Delta BED$ nội tiếp đường tròn đường kính $$BD$$ (2)

Từ (1) và (2), suy ra tứ giác $$BHED$$ là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính $$BD$$.

2) Xét $$\Delta AOD$$ và $\Delta CEB$, có:

$\widehat{OAD}=\widehat{BCE}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn của đường tròn $$\left(O\right)$$);

$\widehat{ADO}=\widehat{CBE}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn của đường tròn đường kính $$BD$$).

Do đó (g.g).

Suy ra $\frac{AO}{CE}=\frac{OD}{EB}$ (tỉ số đồng dạng)

Vậy $AO.EB=OD.CE$ (điều phải chứng minh).

3) Vì $OB=OC$nên $\Delta OBC$cân tại $$O$$.

Do đó $OH$ vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến của $\Delta OBC$.

Suy ra $H$ là trung điểm của $BC$.

Vì vậy $BC=2BH$.

Vì $I$ là trung điểm của $HD$ nên $DH=2DI$.

Ta có: $\widehat{ACB}=90^{\circ }$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính $AB$).

Vì $$Bx$$ là tiếp tuyến của đường tròn $$\left(O\right)$$ nên $$\widehat{ABD}=90^{\circ }$$ hay $$AB\perp BD$$.

Xét $$\Delta ABC$$ và $\Delta BDH$, có:

$\widehat{ACB}=\widehat{BHD}=90^{\circ }$;

$\widehat{ABC}=\widehat{HDB}$ (cùng phụ $\widehat{DBH}$).

Do đó (g.g).

Suy ra $\frac{BA}{DB}=\frac{BC}{DH}$.

Mà $DH=2DI,BC=2BH$ (chứng minh trên).

Vì vậy $\frac{BA}{DB}=\frac{2BH}{2DI}=\frac{BH}{DI}$.

Xét $$\Delta HAB$$ và $\Delta IBD$, có:

$\widehat{ABH}=\widehat{BDI}$ (do );

$\frac{BA}{DB}=\frac{BH}{DI}$ (chứng minh trên).

Do đó (c.g.c).

Suy ra $\widehat{HAB}=\widehat{IBD}$ (cặp góc tương ứng).

Gọi $$F^{\prime }$$ là giao điểm của $$AH$$ và $$BI$$.

Ta có: $\widehat{IBD}+\widehat{IBA}=\widehat{ABD}=90^{\circ }$ (do $$AB\perp BD$$).

Mà $\widehat{HAB}=\widehat{IBD}$ (chứng minh trên).

Suy ra $\widehat{HAB}+\widehat{ABI}=90^{\circ }$ hay $\widehat{F^{\prime }AB}+\widehat{F^{\prime }BA}=90^{\circ }$.

Do đó $\Delta AB{F}^{\prime }$ vuông tại $F^{\prime }$.

Vì vậy $A{F}^{\prime }\perp BI$.

Ta có: $$\widehat{AFB}=90^{\circ }$$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính $AB$).

Suy ra $$AF\perp BI$$.

Mà $A{F}^{\prime }\perp BI$ (chứng minh trên).

Do đó $$AF$$ trùng $A{F}^{\prime }$.

Suy ra $F^{\prime }$ trùng với $F$.

Vì vậy $HF\perp BI$ (điều phải chứng minh).

Vậy và $HF\perp BI.$

Gọi số lần giảm giá là $$x$$ ($$x\in \mathbb{N}$$).

Số tiền giảm giá sau $$x$$ lần là: $$0,2x$$ (triệu đồng).

Số tiền lãi của một chiếc máy tính là: $$22-18-0,2x=4-0,2x$$ (triệu đồng).

Số máy tính bán được sau $x$ lần giảm giá là: $500+50x$ (máy tính).

Số tiền lãi thu được là:

$L=\left(500+50x\right)\left(4-0,2x\right)$

$=2000+200x-100x-10x^2$

$=-10x^2+100x+2000$

$=-10\left(x^2-10x+25\right)+2250$

$=-10{\left(x-5\right)}^2+2250$

Ta có: $${\left(x-5\right)}^2\ge 0$$, với $$x\in \mathbb{N}$$.

Suy ra $$-10{\left(x-5\right)}^2\le 0$$, với $$x\in \mathbb{N}$$.

Do đó $-10{\left(x-5\right)}^2+2250\le 2250$, với $$x\in \mathbb{N}$$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $$x-5=0$$ hay $$x=5$$.

Để lợi nhuận thu được cao nhất thì giá bán một chiếc máy tính là: $$22-0,2.5=21$$ (triệu đồng).

Vậy bác Nghĩa phải bán một chiếc máy tính với giá $$21$$ triệu đồng để sau khi giảm giá lợi nhuận thu được sẽ cao nhất.