Đề thi Giữa kì 2 Toán 9 năm 2024-2025 THCS Phan Đình Giót (Hà Nội) có đáp án

1) Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x=1$.

Thay $x=1$ (thỏa mãn điều kiện $x>0,x\ne 4$) vào biểu thức $A$, ta có:

$A=\frac{\sqrt{1}-2}{\sqrt{1}+9}=\frac{1-2}{1+9}=\frac{-1}{10}$.

Vậy $A=\frac{-1}{10}$ khi $x=1$.

2) Rút gọn biểu thức $B$.

$B=\frac{3\sqrt{x}-6}{x-2\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}}-\frac{1}{2-\sqrt{x}}$

$=\frac{3\sqrt{x}-6}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}+\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}-2}$

$=\frac{3\sqrt{x}-6}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}+\frac{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}$

$=\frac{3\sqrt{x}-6+x-3\sqrt{x}-2\sqrt{x}+6+\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}$

$=\frac{x-\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}$

$=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}$

$=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-2}$.

Vậy $B=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-2}$.

3) Cho biểu thức $P=A.B$. Tìm $x$ là số nguyên lớn nhất để $P<\frac{1}{2}$.

Ta có: $P=A.B=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+9}.\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-2}=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+9}$

Xét $P-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+9}-\frac{1}{2}=\frac{2\left(\sqrt{x}-1\right)-\left(\sqrt{x}+9\right)}{2\left(\sqrt{x}+9\right)}=\frac{\sqrt{x}-11}{2\left(\sqrt{x}+9\right)}$

Để $P<\frac{1}{2}$ thì $P-\frac{1}{2}<0$.

Suy ra $\frac{\sqrt{x}-11}{2\left(\sqrt{x}+9\right)}<0$

Mà $2\left(\sqrt{x}+9\right)>0$, với $x>0,x\ne 4$

Do đó $\sqrt{x}-11<0$

Vì vậy $\sqrt{x}<11$

Khi đó $x<121$.

Vì $x$ là số nguyên lớn nhất nên ta chọn $x=120$ (thỏa mãn điều kiện $x>0,x\ne 4$)

Vậy $x=120$ thoả mãn yêu cầu đề bài.

a) $3x^2+8x-3=0$

Phương trình có các hệ số: $a=3;b=8;c=-3$ và $\Delta =b^2-4ac=8^2-4.3\left(-3\right)=100>0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-8+\sqrt{100}}{2.3}=\frac{1}{3}$;

$x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-8-\sqrt{100}}{2.3}=-3$.

Vậy phương trình $3x^2+8x-3=0$ có hai nghiệm phân biệt là $x_1=\frac{1}{3}$ và $x_2=-3$.

b) $x^2-6x-7=0$

Phương trình có các hệ số: $a=1;b=-6;c=-7$.

Ta có: $a-b+c=1-\left(-6\right)-7=0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=-1$;

$x_2=\frac{-c}{a}=\frac{-\left(-7\right)}{1}=7$.

Vậy phương trình $x^2-6x-7=0$ có hai nghiệm phân biệt là $x_1=-1$ và $x_2=7$.

c) $5x^2+2\sqrt{10}.x+2=0$

Phương trình có các hệ số: $a=5;b^{\prime }=\sqrt{10};c=2$ và ${\Delta }^{\prime }=b^{\prime 2}-ac={\left(\sqrt{10}\right)}^2-5.2=0$ nên phương trình có nghiệm kép:

$x_1=x_2=\frac{-b^{\prime }}{a}=\frac{-\sqrt{10}}{5}$.

Vậy phương trình $5x^2+2\sqrt{10}.x+2=0$ có nghiệm kép là $x_1=x_2=\frac{-\sqrt{10}}{5}$.

Gọi vận tốc lúc đầu của ô tô là $$x$$ (km/h) ($$x>0$$).

Thời gian dự định của ô tô là: $$\frac{120}{x}$$ (giờ).

Sau khi đi được $$1$$ giờ, quãng đường còn lại ô tô phải đi là: $$120-1.x=120-x$$(km)

Vận tốc của ô tô khi đi trên quãng đường còn lại là: $$x+6$$ (km/h)

Thời gian ô tô đã đi trên quãng đường còn lại là: $$\frac{120-x}{x+6}$$ (giờ)

Đổi: $$10$$phút $$=\frac{1}{6}$$ giờ.

Thời gian thực tế ô tô đã đi (tính cả thời gian bị chặn bởi xe cứu hoả) là: $$1+\frac{1}{6}+\frac{120-x}{x+6}$$ (giờ)

Vì xe vẫn đến $$B$$đúng như thời gian đã dự định nên ta có phương trình:

$$1+\frac{1}{6}+\frac{120-x}{x+6}=\frac{120}{x}$$ hay $$x^2+42x-4320=0$$.

Phương trình có các hệ số $$a=1,b^{\prime }=21,c=-4320$$.

Ta có: $${\Delta }^{\prime }=b^{\prime 2}-ac=21^2-1.\left(-4320\right)=4761>0$$.

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$$x_1=\frac{-b^{\prime }+\sqrt{{\Delta }^{\prime }}}{a}=\frac{-21+\sqrt{4761}}{1}=48$$;

$$x_2=\frac{-b^{\prime }-\sqrt{{\Delta }^{\prime }}}{a}=\frac{-21-\sqrt{4761}}{1}=-90$$.

So với điều kiện $$x>0$$, ta nhận $$x_1=48$$.

Vậy vận tốc lúc đầu của ô tô là $$48$$km/h.

Vì $$x_1=1$$ là nghiệm của phương trình nên ta thay $$x=1$$vào phương trình ta được:

$$1^2+1+m=0\Rightarrow m=-2$$.

Với $$m=-2$$ thay vào phương trình ta được: $$x^2+x-2=0$$

Phương trình có các hệ số $$a=b=1,c=-2$$.

Ta có: $$\Delta =b^2-4ac=1^2-\mathrm{4.1.}\left(-2\right)=9>0$$.

Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-1+\sqrt{9}}{2.1}=1$$;

$$x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-1-\sqrt{9}}{2.1}=-2$$.

Thay $$x_1,x_2$$ vào biểu thức $$A$$, ta được: $$A=2024.1+2025.(-2)=-2026$$.

Vậy giá trị của biểu thức $$A$$ bằng $$-2026$$.

a) Diện tích của hình quạt là: $\frac{150^{\circ }.\pi {.2}^2}{360^{\circ }}=\frac{5\pi }{3}\left(d{m}^2\right)$

Vậy diện tích của hình quạt đó bằng $\frac{5\pi }{3}d{m}^2$.

b) Chiều dài cung tương ứng với hình quạt tròn là: $\frac{150^{\circ }.\pi .2}{180^{\circ }}=\frac{5\pi }{3}\left(dm\right)$

Vậy chiều dài cung tương ứng với hình quạt tròn đó bằng $\frac{5\pi }{3}dm$.

a) Chứng minh tứ giác $BFEC$ nội tiếp.

Vì $BE$ là đường cao của tam giác $ABC$ nên $BE\perp AC$.

Suy ra $\widehat{BEC}=90^{\circ }$.

Do đó $\Delta BEC$ vuông tại $E$.

Vì vậy ba điểm $B,E,C$ cùng thuộc đường tròn đường kính $BC$ (1)

Vì $CF$ là đường cao của tam giác $ABC$ nên $CF\perp AB$.

Suy ra $\widehat{BFC}=90^{\circ }$.

Do đó $\Delta BFC$ vuông tại $F$.

Vì vậy ba điểm $B,F,C$ cùng thuộc đường tròn đường kính $BC$ (2)

Từ (1), (2), ta suy ra bốn điểm $B,F,E,C$ cùng thuộc đường tròn đường kính $BC$.

Vậy tứ giác $BFEC$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$.

b) Chứng minh đường thẳng $OA$ vuông góc với đường thẳng $EF$.

Vì tứ giác $BFEC$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$ nên $\widehat{ABC}+\widehat{FEC}=180^0$.

Mà $\widehat{AEF}+\widehat{FEC}=180^{\circ }$ (hai góc kề bù).

Suy ra $\widehat{AEF}=\widehat{ABC}$.

Kẻ đường kính $AP$ của đường tròn $\left(O\right)$.

Xét đường tròn $\left(O\right)$, có: $\widehat{CBP}=\widehat{CAP}=\frac{1}{2}$sđ (hai góc nội tiếp chắn ).

Xét đường tròn $\left(O\right)$, có: $\widehat{ABP}=90^{\circ }$ ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra $\widehat{ABC}+\widehat{CBP}=90^{\circ }$.

Do đó $\widehat{AEF}+\widehat{CAP}=90^{\circ }$.

Gọi $G$ là giao điểm của $EF$ và $AP$.

Xét tam giác $AGE$, có: $\widehat{AGE}+\widehat{CAP}+\widehat{AEF}=180^{\circ }$ (tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $\widehat{AGE}+90^{\circ }=180^{\circ }$.

Do đó $\widehat{AGE}=90^{\circ }$.

Vì vậy $OA\perp EF$ tại $G$.

Vậy đường thẳng $OA$ vuông góc với đường thẳng $EF$.

c) Đường phân giác góc $FHB$ cắt $AB$ và $AC$ lần lượt tại $M$ và $N$. Gọi $I$ là trung điểm của $MN$, $J$ là trung điểm của $AH$. Chứng minh tứ giác $AFHI$ nội tiếp và ba điểm $I,J,K$ thẳng hàng.

⦁ Chứng minh tứ giác $AFHI$ nội tiếp.

Ta có: $\widehat{FHB}=\widehat{EHC}$ (hai góc đối đỉnh).

Mà $MN$ là đường phân giác góc $FHB$.

Suy ra $\widehat{MHF}=\widehat{NHE}\left(=\frac{\widehat{FHB}}{2}=\frac{\widehat{EHC}}{2}\right)$ (1)

Vì tam giác $MHF$ vuông tại $F$ nên $\widehat{MHF}+\widehat{AMH}=90^{\circ }$ (2)

Vì tam giác $NHE$ vuông tại $E$ nên $\widehat{NHE}+\widehat{ANH}=90^{\circ }$ (3)

Từ (1), (2), (3), ta suy ra $\widehat{AMH}=\widehat{ANH}$.

Do đó $\Delta AMN$ cân tại $A$.

Mà $AI$ là đường trung tuyến của $\Delta AMN$ (vì $I$ là trung điểm của $MN$).

Suy ra $AI$ cũng là đường cao của $\Delta AMN$.

Do đó $AI\perp MN$.

Vì vậy $\widehat{AIH}=90^{\circ }$.

Suy ra $\Delta AIH$ vuông tại $I$.

Khi đó ba điểm $A,H,I$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AH$ (4)

Vì $CF$ là đường cao của tam giác $ABC$ nên $CF\perp AB$ hay $$\widehat{AFH}=90^{\circ }$$.

Do đó $\Delta AFH$ vuông tại $F$.

Vì vậy ba điểm $A,F,H$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AH$ (5)

Từ (4), (5), ta thu được bốn điểm $A,F,H,I$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AH$ hay tứ giác $AFHI$ nội tiếp đường tròn đường kính $AH$.

⦁ Chứng minh ba điểm $I,J,K$ thẳng hàng.

Vì $CF\perp AB$ (chứng minh trên) và $PB\perp AB$ ($\widehat{ABP}=90^{\circ }$) nên $CF\parallel PB$.

Vì $BE$ là đường cao của tam giác $ABC$ nên $BE\perp AC$ hay $$\widehat{AEH}=90^{\circ }$$.

Suy ra $\Delta AEH$ vuông tại $E$.

Do đó ba điểm $A,E,H$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AH$.

Vì vậy điểm $E$ nằm trên đường tròn đường kính $AH$.

Ta có:

– Xét đường tròn $\left(O\right)$, có: $\widehat{CAP}=\widehat{CBP}$ (hai góc nội tiếp chắn ).

– Ta có: $$\widehat{CBP}=\widehat{BCF}$$ (hai góc so le trong của $CF\parallel PB$).

– Xét đường tròn đường kính $BC$, có: $$\widehat{BEF}=\widehat{BCF}$$ (hai góc nội tiếp chắn ).

– Xét đường tròn đường kính $AH$, có: $$\widehat{BEF}=\widehat{MAH}$$ (hai góc nội tiếp chắn ).

Do đó $$\widehat{CAP}=\widehat{MAH}$$.

Vì $\Delta AMN$ cân tại $A$ có $AI$ là đường trung tuyến nên $AI$ cũng là đường phân giác của $\Delta AMN$.

Suy ra $\widehat{MAI}=\widehat{NAI}$.

Mà $\widehat{MAI}=\widehat{MAH}+\widehat{HAI};\widehat{NAI}=\widehat{CAP}+\widehat{PAI}$ và $$\widehat{CAP}=\widehat{MAH}$$ (chứng minh trên).

Do đó $$\widehat{HAI}=\widehat{PAI}$$.

Vì vậy $$\widehat{HAP}=2\widehat{HAI}$$.

Xét đường tròn đường kính $AH$, có: $\widehat{HJI}=2\widehat{HAI}$ ( góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn ).

Mà $$\widehat{HAP}=2\widehat{HAI}$$ (chứng minh trên).

Suy ra $\widehat{HJI}=\widehat{HAP}$.

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị.

Do đó $JI//AP$ (6)

Ta có:

– Vì $$E,F\in \left(J\right)$$ nên $$JE=JF$$.

– Vì $$E,F\in \left(K\right)$$ nên $$KE=KF$$.

Do đó $$JK$$ là đường trung trực của đoạn thẳng $$EF$$.

Suy ra $$JK\perp EF$$.

Mà $$AP\perp EF$$ (chứng minh trên).

Vì vậy $JK//AP$ (7)

Từ (6) và (7), ta thu được ba điểm $I,J,K$ thẳng hàng.

Gọi $$x$$ là số lần giảm giá tour du lịch của công ty trên, mỗi lần giảm $$100$$nghìn đồng.

Giá vé tour sau $$x$$ lần giảm giá vé là: $$2000-100x$$ (nghìn đồng).

Số người tham gia sau $$x$$ lần giảm giá là: $150+20x$ (người).

Doanh thu của công ty là: $$(2000-100x)(150+20x)$$ (nghìn đồng).

Đặt $$A=(2000-100x)(150+20x)$$

$$A=-\left(2000x^2-25000x-300000\right)$$

$$A=-{\left(20\sqrt{5}x-125\sqrt{5}\right)}^2+378125$$

Ta có: $${\left(20\sqrt{5}x-125\sqrt{5}\right)}^2\ge 0$$, với mọi $$x$$.

Suy ra $$-{\left(20\sqrt{5}x-125\sqrt{5}\right)}^2\le 0$$ với mọi $$x$$.

Do đó $$-{\left(20\sqrt{5}x-125\sqrt{5}\right)}^2+378125\le 378125$$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $${\left(20\sqrt{5}x-125\sqrt{5}\right)}^2=0$$ hay $20\sqrt{5}x-125\sqrt{5}=0$.

Nghĩa là, $20\sqrt{5}x=125\sqrt{5}$.

Khi đó $x=\frac{125\sqrt{5}}{20\sqrt{5}}$.

Vì vậy $x=\frac{25}{4}$.

Suy ra $x=6,25$.

Số tiền công ty phải giảm giá tour là: $100x=100.6,25=625$ (nghìn đồng).

Vậy công ty phải giảm giá tour $$625$$ nghìn đồng để doanh thu của công ty từ tour đó là lớn nhất.