Đề thi Học kì 2 Toán 9 chọn lọc, có đáp án (Đề 14)

a) Với x ≥ 0; x ≠ 4, ta có:

B =  $\frac{2\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}-2}-\frac{4}{\sqrt{x}+2}+\frac{4}{x-4}$

=  $\frac{\left(2\sqrt{x}-5\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}-\frac{4\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}+\frac{4}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}$

=  $\frac{2x-5\sqrt{x}+4\sqrt{x}-10-\left(4\sqrt{x}-8\right)+4}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}$

=  $\frac{2x-5\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}$=  $\frac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(2\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}$

=  $\frac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}$.

Vậy với x ≥ 0; x ≠ 4, B =  $\frac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}$.

b) Với x ≥ 0; x ≠ 4. Ta có:

B = 1 Û  $\frac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}$= 1 suy ra  $2\sqrt{x}$− 1 =  $\sqrt{x}$ +2

Û   $\sqrt{x}$=3Þ x = 9 (thỏa điều kiện x ≥ 0, x ≠ 4)

Vậy B có giá trị bằng 1 khi x = 9.

a) Phương trình (1) có một nghiệm bằng 2, ta thay x = 2 vào phương trình (1), ta được:

2² – m.2 + m – 2 = 0 Û 2 – m = 0 Û m = 2.

Có x₁, x₂ là các nghiệm của phương trình (1).

Theo hệ thức Vi-ét: x₁x₂ = $\frac{c}{a}$= m – 2 hay x₁x₂ = 0.

Giả sử x₁ = 2 ta có: 2.x₂ = 0 Û x₂ = 0

Vậy phương trình (1) có một nghiệm bằng 2 khi m = 2 và nghiệm còn lại bằng 0.

b) Xét ∆ = b² – 4ac = (−m)² – 4(m – 2)² = m² – 4m + 8 = (m – 2)² + 4

Với mọi m, ta có (m – 2)² ≥ 0 Û (m – 2)² + 4 ≥ 4 > 0

Þ ∆ > 0.

Chứng tỏ phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt ∀m.

Theo hệ thức Vi-ét:  $\left(\begin{array}{c}{x}_1+x_2=\frac{-b}{a}=m\\ x_1{x}_2=\frac{c}{a}=m-2\end{array}\right)$ 

Nên x₁ + x₂ + 2x₁x₂ = −1 Û m + 2(m – 2) = −1 Û 3m – 4 = −1 Û m = 1.

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn: x₁ + x₂ + 2x₁x₂ = −1 thì m = 1.

a) Điểm C(−2; m) thuộc parabol (P) thì x = −2; y = m thỏa mãn hàm số y = $\frac{1}{2}$x².

Suy ra m = $\frac{1}{2}$.(−2)² = 2.

Vậy điểm C(−2; m) thuộc parabol (P) khi m = 2.

b) Hoành độ giao điểm của đường thẳng y = x + $\frac{3}{2}$ và parabol (P) là nghiệm của phương trình:

$\frac{1}{2}$x² = x + $\frac{3}{2}$ Û x² – 2x − 3 = 0

Û x² – 3x + x – 3 = 0

Û (x + 1)(x – 3) = 0

 $\iff \left(\begin{array}{c}x+1=0\\ x-3=0\end{array}\right)$

 $\iff \left(\begin{array}{c}x=-1\\ x=3\end{array}\right)$

Vì hoành độ điểm A nhỏ hơn hoành độ điểm B, ta có:

Với x = x₁ = -1 Þ y = $\frac{1}{2}$(−1)² = $\frac{1}{2}$ Þ A $\left(-1;\frac{1}{2}\right)$

Với x = x₂ = 3 Þ y = $\frac{1}{2}$.3² =  Þ B $\left(3;\frac{9}{2}\right)$

Đường thẳng y = x +  $\frac{3}{2}$ và parabol (P) cắt nhau tại A $\left(-1;\frac{1}{2}\right)$, B $\left(3;\frac{9}{2}\right)$.

Ta có:

OA =  $\sqrt{{(-1)}^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}$Þ $3\sqrt{3}$.OA =  $\frac{3\sqrt{15}}{2}$;

OB =  $\sqrt{3^2+{\left(\frac{9}{2}\right)}^2}=\frac{3\sqrt{13}}{2}$.

Vì 15 > 13 > 0 nên  $\sqrt{15}>\sqrt{13}$Þ  $\frac{3\sqrt{15}}{2}$>  $\frac{3\sqrt{13}}{2}$ Þ  $3\sqrt{3}$.OA > OB.

Vậy  $3\sqrt{3}$.OA > OB.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương, ta có:  

$\frac{ca}{b^3(a+2c)}+\frac{a+2c}{9abc}\ge 2\sqrt{\frac{ca}{b^3(a+2c)}.\frac{a+2c}{9abc}}=\frac{2}{3b^2}$

$\frac{bc}{a^3(c+2b)}+\frac{c+2b}{9abc}\ge 2\sqrt{\frac{bc}{a^3(c+2b)}.\frac{c+2b}{9abc}}=\frac{2}{3a^2}$

 $\frac{ab}{c^3(b+2a)}+\frac{b+2a}{9abc}\ge 2\sqrt{\frac{ab}{c^3(b+2a)}.\frac{b+2a}{9abc}}=\frac{2}{3c^2}$

Þ  $\frac{bc}{a^3(c+2b)}+\frac{ca}{b^3(a+2c)}+\frac{ab}{c^3(b+2a)}+\frac{a+b+c}{3abc}$

≥  $\frac{2}{3}\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\ge \frac{2}{3}\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)$ =  $\frac{2}{3}.\frac{a+bc}{abc}$

Vậy  $\frac{bc}{a^3(c+2b)}+\frac{ca}{b^3(a+2c)}+\frac{ab}{c^3(b+2a)}$≥  $\frac{a+b+c}{3abc}=\frac{6abc}{3abc}=2.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c =  $\frac{\sqrt{2}}{2}$.