Bộ 10 đề thi giữa kì 1 Toán 9 Chân trời sáng tạo có đáp án (Đề 3)

Hướng dẫn giải

a) Từ phương trình thứ nhất ta có $$2x+5y=8$$ suy ra $x=4-\frac{5}{2}y$. Thế vào phương trình thứ hai, ta được:

$$2\left(4-\frac{5}{2}y\right)-3y=0$$, tức là $$8-8y=0$$, suy ra $$8y=8$$ hay $$y=1$$.

Từ đó $$x=4-\frac{5}{2}=\frac{3}{2}.$$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là $$\left(\frac{3}{2};1\right).$$

b) Cộng từng vế của hai phương trình ta được $$2x+y+5x-y=14$$ hay $$7x=14$$, suy ra $$x=2.$$

Thế $$x=2$$ vào phương trình thứ nhất, ta được $$2\cdot 2+y=4$$, suy ra $y=0.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là $$\left(2;0\right).$$

Hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải

Gọi vận tốc của ô tô và vận tốc của xe máy lần lượt là $x,y\left(km/h\right)$ và $x,y>0.$

Sau 2 giờ ô tô đi được quãng đường là $2x\left(\mathrm{km}\right)$.

Sau 2 giờ xe máy đi được quãng đường là $2y\left(\mathrm{km}\right)$

Vì hai xe khởi hành cùng một lúc từ hai tỉnh cách nhau $200\mathrm{km},$ đi ngược chiều và gặp nhau sau 2 giờ nên ta có phương trình $$2x+2y=200$$ hay $$x+y=100\left(1\right)$$

Nếu vận tốc của ô tô tăng thêm $10km/h$ thì vận tốc mới của ô tô là: $x+10\left(km/h\right)$.

Nếu vận tốc của xe máy giảm đi $5km/h$ thì vận tốc mới của xe máy là $y-5\left(km/h\right)$.

Vì vận tốc của ô tô tăng thêm $10km/h$ và vận tốc của xe máy giảm đi $5km/h$ thì lúc này vận tốc của ô tô bằng 2 lần vận tốc của xe máy nên ta có phương trình

$x+10=2\left(y-5\right)$ hay $x-2y=-20\left(2\right)$.

Từ $$\left(1\right)$$ và $\left(2\right)$ ta có hệ phương trình $\{\begin{array}{l}x+y=100\\ x-2y=-20\end{array}$.

Trừ từng vế hai phương trình của hệ trên, ta được: $3y=120$, suy ra $y=40$ (thỏa mãn).

Thay $y=40$ vào phương trình $x+y=100$, ta được:

$x+40=100$ suy ra $x=60$ (thỏa mãn).

Vậy vận tốc của ô tô là $60km/h$ và vận tốc của xe máy là $40km/h$.

Hướng dẫn giải

1.  Xét tam giác $ABH$ vuông tại $H$, ta có:

$\sin A=\frac{BH}{AH}$ suy ra $BH=AH.\sin A=3.\sin 40^{\circ }\approx 1,9.$

Xét tam giác $ACK$ vuông tại $K$, ta có:

$AC=AB+BC=3+2=5$.

$\sin A=\frac{CK}{AC}$ suy ra $CK=AC.\sin A=5.\sin 40^{\circ }\approx 3,2$.

Xét tam giác $ACK$ vuông tại $K$, ta có:

$\tan A=\frac{CK}{AK}$ suy ra $AK=\frac{CK}{\tan A}=\frac{3,2}{\tan 40^{\circ }}\approx 3,8.$

Vậy $BH\approx 1,9$, $CK\approx 3,2$, $AK\approx 3,8.$

2. Quan sát hình vẽ hình học của bài toán, ta có:

Độ cao của khinh khí cầu so với mặt đất là đoạn thẳng $BE.$

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$, ta có:

$\tan \widehat{BCA}=\frac{AB}{AC}$ hay $AB=AC.\tan \widehat{BCA}$.

Suy ra $$AB=800.\tan 38^{\circ }\approx 625\left(\mathrm{m}\right)$$.

Ta có $BE=AB+AE\approx 625+1,5=626,5\left(\mathrm{m}\right)$.

Vậy độ cao của khinh khí cầu so với mặt đất khoảng $626,5\mathrm{m}.$

Hướng dẫn giải

⦁ Trước hết, ta chứng minh với $a>0$ và $b>0$ luôn có $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}.$$

Thật vậy, với $a>0$ và $b>0,$ ta có:

$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{4}{a+b}=\frac{b\left(a+b\right)+a\left(a+b\right)-4ab}{ab\left(a+b\right)}=\frac{a^2-2ab+b^2}{ab\left(a+b\right)}=\frac{{\left(a-b\right)}^2}{ab\left(a+b\right)}\ge 0.$$\(\)

Do đó $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}.\left(\ast \right)$$

⦁ Áp dụng bất đẳng thức \(\left( * \right)\) cho hai số $2x>0$ và $y+z>0,$ ta có:

$$\frac{1}{2x}+\frac{1}{y+z}\ge \frac{4}{2x+y+z}$$

Suy ra $$\frac{1}{2x+y+z}\le \frac{1}{4}\left(\frac{1}{2x}+\frac{1}{y+z}\right).$$

Áp dụng bất đẳng thức $\left(\ast \right)$ cho hai số $y>0$ và $z>0,$ ta có:

$\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge \frac{4}{y+z}.$

Suy ra $$\frac{1}{y+z}\le \frac{1}{4}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{4y}+\frac{1}{4z}.$$

Do đó: $$\frac{1}{2x+y+z}\le \frac{1}{4}\left(\frac{1}{2x}+\frac{1}{y+z}\right)\le \frac{1}{4}\left(\frac{1}{2x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{4z}\right).$$

Chứng minh tương tự, ta có:

$$\frac{1}{x+2y+z}\le \frac{1}{4}\left(\frac{1}{4x}+\frac{1}{2y}+\frac{1}{4z}\right);$$ $$\frac{1}{x+y+2z}\le \frac{1}{4}\left(\frac{1}{4x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{2z}\right).$$

Khi đó:

$\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le \frac{1}{4}\left(\frac{1}{2x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{4z}\right)+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4x}+\frac{1}{2y}+\frac{1}{4z}\right)+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{2z}\right)$

$=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{4z}+\frac{1}{4x}+\frac{1}{2y}+\frac{1}{4z}+\frac{1}{4x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{2z}\right)$

$=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{4}\cdot 4=1$ (do $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4).$

Vậy $\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le 1.$