Đề thi giữa kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức – Đề 4 (có đáp án)

Đáp án:               a) Đ;                    b) S;                    c) Đ;                    d) S.

⦁ Do $a>1$ nên $a-1>0$. Do đó ý a) là đúng.

⦁ Do $a>b$ nên $a-b>0$. Do đó ý b) là sai.

⦁ Do $1>b$ hay $b<1$ nên $b-1<0$, mà $a-1>0$ suy ra $\left(a-1\right)\left(b-1\right)<0.$ Do đó ý c) là đúng.

⦁ Ta có $a-2b=\left(a-1\right)-2\left(b-1\right)-1$

Do $b-1<0$ nên $-2\left(b-1\right)>0$.

Lại có $a-1>0$ nên $\left(a-1\right)-2\left(b-1\right)>0,$ suy ra $\left(a-1\right)-2\left(b-1\right)-1>-1$

Như vậy $2a-b>-1.$ Do đó ý d) là sai.

a) Vì số nguyên tử của $\mathrm{Fe},\mathrm{O}$ và $\mathrm{H}$ ở cả hai vế của phương trình phản ứng phải bằng nhau nên ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}x=2\\ 3x=3+y\\ 3x=2y\end{array}$

Từ hai phương trình $3x=3+y$ và $3x=2y$ ta có phương trình $3+y=2y,$ suy ra $y=3.$

Vậy $x=2$ và $y=3.$ Khi đó ta có phương trình phản ứng hóa học sau khi được cân bằng như sau:

$$2\mathrm{Fe}{\left(\mathrm{OH}\right)}_3\to \mathrm{F}{\mathrm{e}}_2{\mathrm{O}}_3+3{\mathrm{H}}_2\mathrm{O}.$$

b) Gọi $x$ (km/h) là vận tốc dự định của ôtô và $y$ (giờ) là thời gian dự định của ôtô để đi hết quãng đường AB $\left(x>10,y>0\right).$

– Quãng đường AB là $xy$ (km).

– Nếu ôtô chạy nhanh hơn 10 km/h mỗi giờ thì đến nơi sớm hơn so với dự định là 3 giờ. Khi đó, ta có:

  ⦁ Vận tốc của ôtô lúc này là: $x+10$ (km/h).

  ⦁ Thời gian ôtô đi hết quãng đường AB là: $y-3$ (giờ).

  ⦁ Quãng đường AB là: $\left(x+10\right)\left(y-3\right)$ (giờ).

Ta có phương trình: $\left(x+10\right)\left(y-3\right)=xy$

 $xy-3x+10y-30=xy$

 $-3x+10y=30$  (1)

– Nếu ôtô chạy chậm hơn 10 km/h mỗi giờ thì đến nơi muộn hơn so với dự định là 5 giờ. Khi đó, ta có:

  ⦁ Vận tốc của ôtô lúc này là: $x-10$ (km/h).

  ⦁ Thời gian ôtô đi hết quãng đường AB là: $y+5$ (giờ).

  ⦁ Quãng đường AB là: $\left(x+10\right)\left(y+5\right)$ (giờ).

Ta có phương trình: $$\left(x-10\right)\left(y+5\right)=xy$$

$xy+5x-10y-50=xy$

$5x-10y=50$  (2)

Từ phương trình (1) và phương trình (2) ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}-3x+10y=30\\ 5x-10y=50\end{array}$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ, ta được: $2x=80,$ suy ra $$x=40$$ (thỏa mãn).

Thay $$x=40$$ vào phương trình (1), ta được:

$-3\cdot 40+10y=30$ hay $10y=150,$ suy ra $y=15$ (thỏa mãn).

Vậy vận tốc dự định của ôtô là 40 (km/h) và thời gian ôtô đi hết quãng đường AB là 15 (giờ).

ABC có $$AB=4\mathrm{cm}$$, $$BC=4,5\mathrm{cm}$$, $$\hat{B}=40^{\circ }$$. Gọi $AH$ là đường cao kẻ từ đỉnh $A$ của tam giác. Tính độ dài các đoạn thẳng $AH,BH,AC$ và số đo góc $C$ của tam giác $ABC$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm của cm và làm tròn đến phút của số đo góc). (ảnh 2)">

a) Xét $$\Delta ABH$$ vuông tại $$H,$$ ta có:

$$AH=AB\cdot \sin B=4\cdot \sin 40^{\circ }\approx 2,57$$ (cm);

$BH=AB\cdot \cos B=4\cdot \cos 40^{\circ }\approx 3,06$ (cm).

Ta có $BC=BH+HC$

Suy ra $HC=BC-BH\approx 4,5-3,06=1,44$ (cm).

Xét $$\Delta AHC$$ vuông tại $$H$$, theo định lí Pythagore, ta có:

$$A{C}^2=A{H}^2+H{C}^2\approx 2,57^2+1,44^2=8,6785$$

Suy ra $AC\approx 2,95$ (cm).

Trong $$\Delta AHC$$, ta cũng có: $\tan C=\frac{AH}{HC}\approx \frac{2,57}{1,44}=\frac{257}{144}.$ Suy ra $\hat{C}\approx 60^{\circ }44^{\prime }.$

b) Đặt: $BC=x\left(\mathrm{m}\right);$ $AC=AB+BC=500+x\left(\mathrm{m}\right)$.

Xét $\Delta ACD$ vuông tại $C,$ ta có: $$CD=AC\cdot \tan \widehat{CAD}=\left(500+x\right)\cdot \tan 34^{\circ }.$$

Xét $\Delta BCD$ vuông tại $C,$ ta có: $CD=BC\cdot \tan \widehat{CBD}=x\cdot \tan 38^{\circ }$.

Do đó, ta có: $\left(500+x\right)\cdot \tan 34^{\circ }=x\cdot \tan 38^{\circ }$

$500\cdot \tan 34^{\circ }+x\cdot \tan 34^{\circ }=x\cdot \tan 38^{\circ }$

$x\cdot \tan 38^{\circ }-x\cdot \tan 34^{\circ }=500\cdot \tan 34^{\circ }$

$x\cdot \left(\tan 38^{\circ }-\tan 34^{\circ }\right)=500\cdot \tan 34^{\circ }$

$x=\frac{500\cdot \tan 34^{\circ }}{\tan 38^{\circ }-\tan 34^{\circ }}\approx 3158,5(\mathrm{m}).$

Suy ra $CD=x\cdot \tan 38^{\circ }\approx 3158,5\cdot \tan 38^{\circ }\approx 2468(\mathrm{m}).$

Vậy ngọn núi cao khoảng $2468$ mét.

α thỏa mãn $$0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }.$$ Chứng minh rằng: $$\frac{\sin \alpha +\cos \alpha -1}{1-\cos \alpha }=\frac{2\cos \alpha }{\sin \alpha -\cos \alpha +1}.$$ (ảnh 1)">

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có $\hat{B}=\alpha$.

Do $\hat{B}$ là góc nhọn nên $0^{\circ }<\hat{B}<90^{\circ }$ hay $$0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }.$$

Ta có: $\sin \alpha =\frac{AC}{BC}$ và $\cos \alpha =\frac{AB}{BC}.$

$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$ (định lí Pythagore).

Khi đó:

$${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha ={\left(\frac{AC}{BC}\right)}^2+{\left(\frac{AB}{BC}\right)}^2=\frac{A{C}^2}{B{C}^2}+\frac{A{B}^2}{B{C}^2}=\frac{A{C}^2+A{B}^2}{B{C}^2}=\frac{B{C}^2}{B{C}^2}=1.$$

Với $$0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$$ thì $$1-\cos \alpha \ne 0$$ và $$\sin \alpha -\cos \alpha +1\ne 0$$.

Ta có: $$\frac{\sin \alpha +\cos \alpha -1}{1-\cos \alpha }-\frac{2\cos \alpha }{\sin \alpha -\cos \alpha +1}$$

       $$=\frac{\left(\sin \alpha +\cos \alpha -1\right)\left(\sin \alpha -\cos \alpha +1\right)-2\cos \alpha \left(1-\cos \alpha \right)}{\left(1-\cos \alpha \right)\left(\sin \alpha -\cos \alpha +1\right)}$$

       $$=\frac{\left[\sin \alpha +\left(\cos \alpha -1\right)\right]\left[\sin \alpha -\left(\cos \alpha -1\right)\right]-2\cos \alpha \left(1-\cos \alpha \right)}{\left(1-\cos \alpha \right)\left(\sin \alpha -\cos \alpha +1\right)}$$

       $$=\frac{{\sin }^2\alpha -{\left(\cos \alpha -1\right)}^2-2\cos \alpha +2{\cos }^2\alpha }{\left(1-\cos \alpha \right)\left(\sin \alpha -\cos \alpha +1\right)}$$

       $$=\frac{{\sin }^2\alpha -\left({\cos }^2\alpha -2\cos \alpha +1\right)-2\cos \alpha +2{\cos }^2\alpha }{\left(1-\cos \alpha \right)\left(\sin \alpha -\cos \alpha +1\right)}$$

       $$=\frac{{\sin }^2\alpha -{\cos }^2\alpha +2\cos \alpha -1-2\cos \alpha +2{\cos }^2\alpha }{\left(1-\cos \alpha \right)\left(\sin \alpha -\cos \alpha +1\right)}$$

       $$=\frac{{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x-1}{\left(1-\cos x\right)\left(\sin x-\cos x+1\right)}.$$

       $$=\frac{1-1}{\left(1-\cos x\right)\left(\sin x-\cos x+1\right)}=0$$ (vì $$1-\cos x\ne 0$$ và $$\sin x-\cos x+1\ne 0)$$

     Vậy $$\frac{\sin x+\cos x-1}{1-\cos x}=\frac{2\cos x}{\sin x-\cos x+1}.$$