Đề thi giữa kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức – Đề 7 (có đáp án)

Hướng dẫn giải

a) Từ phương trình thứ nhất ta có $$2x+5y=8$$ suy ra $x=4-\frac{5}{2}y$. Thế vào phương trình thứ hai, ta được:

$$2\left(4-\frac{5}{2}y\right)-3y=0$$, tức là $$8-8y=0$$, suy ra $$8y=8$$ hay $$y=1$$.

Từ đó $$x=4-\frac{5}{2}=\frac{3}{2}.$$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là $$\left(\frac{3}{2};1\right).$$

b) Từ phương trình thứ nhất ta có $$2x-3y=7$$ suy ra $x=\frac{7}{2}+\frac{3}{2}y$. Thế vào phương trình thứ hai, ta được:

$$3\left(\frac{7}{2}+\frac{3}{2}y\right)+2y=4$$, tức là $$\frac{21}{2}+\frac{13}{2}y=4$$, suy ra $$\frac{13}{2}y=-\frac{13}{2}$$ hay $$y=-1$$.

Từ đó $$x=\frac{7}{2}+\frac{3}{2}\cdot \left(-1\right)=2.$$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là $$\left(2;-1\right).$$

Hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải

Gọi số học sinh trường A là $x$ (học sinh).

Gọi số học sinh trường B là $y$ (học sinh) $\left(0<x,y<500\right)$.

Theo đề bài, cả hai trường có tổng cộng 500 học sinh, suy ra $x+y=500\left(1\right)$.

Kết quả có 420 học sinh trúng tuyển trong đó có 80% học sinh trường A và $$90\%$$ học sinh trường B nên ta có: $80\%x+90\%y=420$ hay $0,8x+0,9y=420\left(2\right)$.

Từ $\left(1\right),\left(2\right)$ ta có hệ phương trình $\{\begin{array}{l}x+y=500\\ 0,8x+0,9y=420\end{array}$.

Từ phương trình $\left(1\right)$ ta có $x+y=500$ hay $x=500-y$. Thế vào phương trình thứ (2), ta được $0,8\left(500-y\right)+0,9y=420$, tức là $400+0,1y=420$ suy ra $y=200$ (thỏa mãn).

Khi đó, $x=500-200=300$ (thỏa mãn).

Vậy số học sinh trường A là 300 học sinh, số học sinh trường B là 200 học sinh.

Hướng dẫn giải

1. Xét $\Delta ABD$ vuông tại $A$, ta có: $\tan \widehat{BAD}=\frac{3}{5}$ suy ra $\widehat{BAD}\approx 31^{\circ }$ hay $\alpha \approx 31^{\circ }$.

Xét tam giác $ABC$, ta có: $\widehat{BAC}=\widehat{BAD}+\widehat{DAC}\approx 31^{\circ }+40^{\circ }=71^{\circ }$.

Ta có: $\tan \widehat{BAC}=\frac{BC}{AB}$ hay $BC=AB.\tan \widehat{BAC}\approx 5.\tan 71^{\circ }\approx 14,52.$

Lại có $BD+DC=BC$ hay $DC\approx 14,52-3=11,52$ suy ra $x\approx 11,52.$

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác $ABC$, ta có: $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$

Suy ra $B{C}^2=5^2+14,5^2=235,25$ nên $BC\approx 15,33$ hay $y\approx 15,33.$

Vậy $\alpha \approx 31^{\circ }$, $x\approx 11,52$, $y\approx 15,33.$

Vậy độ cao của khinh khí cầu so với mặt đất

khoảng $626,5\mathrm{m}.$

Hướng dẫn giải

Vì $a,b,c\ge 0;a+b+c=1$ nên $0\le a,b,c\le 1$.

Suy ra $\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)\le 0$

$abc-\left(ab+bc+ca\right)+a+b+c-1\le 0$

$a+b+c-ab-bc-ac\le 1-abc\le 1$.

Vì $0\le a,b,c\le 1$ nên $a^{2023}\le a;b^{2023}\le b;c^{2023}\le c.$

Suy ra $T\le a+b+c-ab-bc-ca\le 1$ hay $$a^{2024}+b^{2023}+c^{2022}-ab-bc-ca\le 1$$.

Dấu xảy ra khi $\left(a;b;c\right)\in \left\{\left(1;0;0\right);\left(0;1;0\right);\left(0;0;1\right)\right\}$.

Vậy ta có điều phải chứng minh.