Đề thi Học kì 1 Toán 8 – Đề 1 (có đáp án)

12 câu · Đề cuối kì 1

Đề tự luận: mỗi câu có đáp án tham khảo của đề gốc để bạn tự đối chiếu bài làm (không tính điểm).

Câu 1

Câu tự luận

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: $5 x - x y + y^{2} - 5 y$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Phương pháp:

Nhóm hạng tử, đặt hạng tử chung, hằng đẳng thức...

Cách giải:

$5 x - x y + y^{2} - 5 y = x (5 - y) - y (5 - y) = (x - y) (5 - y)$ .

Câu 2

Câu tự luận

Tính nhanh giá trị của biểu thức: $x^{2} + 2 x + 1 - y^{2}$ với $x = 84; y = 15$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Phương pháp:

Nhóm hạng tử, đặt hạng tử chung, hằng đẳng thức...

Cách giải:

. $x^{2} + 2 x + 1 - y^{2} = {(x + 1)}^{2} - y^{2} = (x + 1 - y) (x + 1 + y)$

Thay $x = 84; y = 15$ vào biểu thức ta được:

$(x + 1 - y) (x + 1 + y) = (84 + 1 - 15) (84 + 1 + 15)$

$= 70.100 = 7000$ .

Câu 3

Câu tự luận

Tìm x biết: ${(3 x - 1)}^{2} = {(x - 1)}^{2}$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Phương pháp:

Phân tích đa thức thành nhân tử, sử dụng tính chất của phép chia hết.

Cách giải:

${(3 x - 1)}^{2} = {(x - 1)}^{2}$

$\begin{matrix} \Leftrightarrow {(3 x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{2} = 0 \\ \Leftrightarrow (3 x - 1 - x + 1) (3 x - 1 + x - 1) = 0 \\ \Leftrightarrow 2 x (4 x - 2) = 0 \\ \Leftrightarrow (\begin{matrix} 2 x = 0 \\ 4 x - 2 = 0 \end{matrix}) \Leftrightarrow (\begin{matrix} x = 0 \\ x = \frac{1}{2} \end{matrix}) . \end{matrix}$

Vậy $x = 0$ hoặc $x = \frac{1}{2}$ .

Câu 4

Câu tự luận

Tìm m để đa thức

B = x^{3} - 3 x^{2} + 5 x - 2 m

chia hết cho đa thức

C = x - 2

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Phương pháp:

Phân tích đa thức thành nhân tử, sử dụng tính chất của phép chia hết.

Cách giải:

$B = x^{3} - 3 x^{2} + 5 x - 2 m$

$\begin{matrix} = x^{3} - 2 x^{2} - x^{2} + 2 x + 3 x - 6 + 6 - 2 m \\ = x^{2} (x - 2) - x (x - 2) + 3 (x - 2) + 6 - 2 m \\ = (x - 2) (x^{2} - x + 3) + 6 - 2 m . \end{matrix}$

Để đa thức B chia hết cho đa thức $C = x - 2$ thì $6 - 2 m = 0 \Leftrightarrow m = 3$ .

Vậy $m = 3$ .

Câu 5

Câu tự luận

Cho biểu thức $P = (\frac{2}{x + 4} + \frac{x + 20}{x^{2} - 16}) . (\frac{x - 4}{x + 5})$ với $x \neq \pm 4, x \neq - 5$ .

Chứng tỏ rằng $P = \frac{3}{x + 5}$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Phương pháp:

Áp dụng linh hoạt các kĩ năng để rút gọn biểu thức, sau đó tính giá trị biểu thức.

Phần c sử dụng phương pháp ước số

Cách giải:

$P = (\frac{2}{x + 4} + \frac{x + 20}{x^{2} - 16}) . (\frac{x - 4}{x + 5})$ với $x \neq \pm 4, x \neq - 5$

Chứng tỏ rằng: $P = \frac{3}{x + 5}$ .

$P = (\frac{2}{x + 4} + \frac{x + 20}{x^{2} - 16}) . (\frac{x - 4}{x + 5})$ với $x \neq \pm 4, x \neq - 5$ .

$P = (\frac{2}{x + 4} + \frac{x + 20}{x^{2} - 16}) . (\frac{x - 4}{x + 5})$

$\begin{matrix} = (\frac{2 (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} + \frac{x + 20}{(x + 4) (x - 4)}) . (\frac{x - 4}{x + 5}) \\ = \frac{3 x + 12}{(x + 4) (x - 4)} . (\frac{x - 4}{x + 5}) \\ = \frac{3 (x + 4)}{(x + 4) (x - 4)} . (\frac{x - 4}{x + 5}) \\ = \frac{3}{x + 5} . \end{matrix}$

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Câu 6

Câu tự luận

Cho biểu thức $P = (\frac{2}{x + 4} + \frac{x + 20}{x^{2} - 16}) . (\frac{x - 4}{x + 5})$ với $x \neq \pm 4, x \neq - 5$ .

Tính giá trị của biểu thức P, với x thỏa mãn $x^{2} + 4 x = 0$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Phương pháp:

Áp dụng linh hoạt các kĩ năng để rút gọn biểu thức, sau đó tính giá trị biểu thức.

Phần c sử dụng phương pháp ước số

Cách giải:

$P = (\frac{2}{x + 4} + \frac{x + 20}{x^{2} - 16}) . (\frac{x - 4}{x + 5})$ với $x \neq \pm 4, x \neq - 5$ .

Tính giá trị của biểu thức P, với x thỏa mãn $x^{2} + 4 x = 0$ .

Điều kiện: $x \neq \pm 4, x \neq - 5$ .

Ta có: $x^{2} + 4 x = 0 \Leftrightarrow x (x + 4) = 0 \Leftrightarrow (\begin{matrix} x = 0 \\ x + 4 = 0 \end{matrix}) \Leftrightarrow (\begin{matrix} x = 0 (t m) \\ x = - 4 (k t m) \end{matrix}) .$

Thay $x = 0$ thì $P = \frac{3}{5}$ .

Câu 7

Câu tự luận

Cho biểu thức $P = (\frac{2}{x + 4} + \frac{x + 20}{x^{2} - 16}) . (\frac{x - 4}{x + 5})$ với $x \neq \pm 4, x \neq - 5$ .

Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức P có giá trị nguyên.

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Phương pháp:

Áp dụng linh hoạt các kĩ năng để rút gọn biểu thức, sau đó tính giá trị biểu thức.

Phần c sử dụng phương pháp ước số

Cách giải:

$P = (\frac{2}{x + 4} + \frac{x + 20}{x^{2} - 16}) . (\frac{x - 4}{x + 5})$ với $x \neq \pm 4, x \neq - 5$ .

Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức P có giá trị nguyên.

Điều kiện: $x \neq \pm 4, x \neq - 5$ .

Ta có: $P = \frac{3}{x + 5} \in ℤ \Leftrightarrow 3 ⋮ (x + 5)$ hay $(x + 5) \in U (3)$

Mà $U (3) = (\pm 1; \pm 3)$ . Ta có bảng giá trị:

	-3	-1	1	3
	-8	-6	-4 (loại)	-2

Vậy $x \in (- 8; - 6; - 2)$ thì P nhận giá trị nguyên.

Câu 8

Câu tự luận

Cho tam giác ABC có $A B = 2 B C$ , từ trung điểm M của AB kẻ tia Mx song song BC, từ C kẻ tia Cy song song AB sao cho Mx cắt Cy tại N.

Chứng minh tứ giác MBCN là hình bình hành.

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Phương pháp:

Sử dụng dấu hiệu nhận biết và tính chất của hình bình hành, dấu hiệu nhận biết tam giác vuông, chứng minh tam giác bằng nhau và tính chất trọng tâm của tam giác.

Cách giải:

Tứ giác BMNC có: $M N ∥ B C$ , $C N ∥ B M$ nên MNBC là hình bình hành. (dhnb)

Media VietJack

Câu 9

Câu tự luận

Cho tam giác ABC có $A B = 2 B C$ , từ trung điểm M của AB kẻ tia Mx song song BC, từ C kẻ tia Cy song song AB sao cho Mx cắt Cy tại N.

Chứng minh $B N ⊥ A N$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Phương pháp:

Cách giải:

Vì BMNC là hình bình hành (cmt) nên $M N = B C$ .

Lại có: $B C = \frac{1}{2} A B \Rightarrow M N = \frac{1}{2} A B$ .

Tam giác có đường trung tuyến NM bằng nửa cạnh đối AB nên tam giác ABN vuông tại N, hay AN vuông góc với BN (đpcm).

Media VietJack

Câu 10

Câu tự luận

Cho tam giác ABC có $A B = 2 B C$ , từ trung điểm M của AB kẻ tia Mx song song BC, từ C kẻ tia Cy song song AB sao cho Mx cắt Cy tại N.

Gọi D là giao điểm của MN với AC, E là giao điểm của MC với BN, F là giao điểm của ED với AN. Chứng minh $D E = D F$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Phương pháp:

Cách giải:

Tứ giác AMCN có $C N ∥ A M, C N = A M (= B M)$

$\Rightarrow A M C N$ là hình bình hành (dhnb)

$\Rightarrow D C = D A, C M ∥ N A$ . (tính chất)

Xét $Δ A B C$ có:

M là trung điểm của AB

$M D ∥ B C (M x ∥ C D)$

$\Rightarrow D$ là trung điểm của AC (định lý đảo).

$\Rightarrow A D = D C .$

Xét $Δ A D F$ và $Δ C D E$ có:

$D A = D C$ (cmt)

$∠ A D F = ∠ C D E$ (hai góc đối đỉnh)

$∠ D A F = ∠ D C E$ (hai góc so le trong)

\Rightarrow Δ A D F = Δ C D E

(g – c – g)

\Rightarrow D E = D F

(đpcm).

Câu 11

Câu tự luận

Cho tam giác ABC có $A B = 2 B C$ , từ trung điểm M của AB kẻ tia Mx song song BC, từ C kẻ tia Cy song song AB sao cho Mx cắt Cy tại N.

Gọi G là giao điểm của AE với MN. Chứng minh B, G, F thẳng hàng.

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Phương pháp:

Cách giải:

Ta có: $Δ A D F = Δ C D E$ (cmt) $\Rightarrow A F = E C$ .

Mà $C M = A N$ (AMCN là hình bình hành) và $C E = \frac{1}{2} C M \Rightarrow A F = \frac{1}{2} A N$ .

Vậy F là trung điểm AN.

Xét tam giác ABN có G là giao của hai đường trung tuyến AE và NM nên G là trọng tâm của tam giác ABN.

$\Rightarrow$ BG đi qua trung điểm F của AN B, G, F thẳng hàng.

Media VietJack

Câu 12

Câu tự luận

Cho các số x, y, z dương thỏa mãn $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M = \frac{1}{16 x^{2}} + \frac{1}{4 y^{2}} + \frac{1}{z^{2}}$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Phương pháp:

$M = \frac{1}{16 x^{2}} + \frac{1}{4 y^{2}} + \frac{1}{z^{2}}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương ta có: $\begin{matrix} \frac{1}{16 x^{2}} + \frac{49}{16} x^{2} \geq 2 \sqrt{\frac{1}{16} . \frac{49}{16}} = \frac{14}{16} \\ \frac{1}{4 y^{2}} + \frac{49}{16} y^{2} \geq 2 \sqrt{\frac{1}{4} . \frac{49}{16}} = \frac{7}{4} \\ \frac{1}{z^{2}} + \frac{49}{16} z^{2} \geq 2 \sqrt{1. \frac{49}{16}} = \frac{7}{2} \end{matrix}$

Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được:

$\begin{matrix} \frac{1}{16 x^{2}} + \frac{49}{16} x^{2} + \frac{1}{4 y^{2}} + \frac{49}{16} y^{2} + \frac{1}{z^{2}} + \frac{49}{16} z^{2} \geq \frac{14}{16} + \frac{7}{4} + \frac{7}{2} \\ \Leftrightarrow (\frac{1}{16 x^{2}} + \frac{1}{4 y^{2}} + \frac{1}{z^{2}}) + \frac{49}{16} (x^{2} + y^{2} + z^{2}) \geq \frac{49}{8} \\ \Leftrightarrow M + \frac{49}{16} \geq \frac{49}{8} \\ \Leftrightarrow M \geq \frac{49}{16} . \end{matrix}$

Dấu “=” xảy ra . $\Leftrightarrow (\begin{matrix} x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 \\ \frac{1}{4 x} = \frac{7 x}{4} \\ \frac{1}{2 y} = \frac{7 y}{4} \\ \frac{1}{z} = \frac{7 z}{4} \end{matrix}) \Leftrightarrow (\begin{matrix} x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 \\ 7 x^{2} = 1 \\ 7 y^{2} = 2 \\ 7 z^{2} = 4 \end{matrix}) \Leftrightarrow (\begin{matrix} x = \frac{\sqrt{7}}{7} \\ y = \frac{\sqrt{14}}{7} \\ z = \frac{2 \sqrt{7}}{7} \end{matrix})$

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là $\frac{49}{16}$ khi $(x; y; z) = (\frac{\sqrt{7}}{7}; \frac{\sqrt{14}}{7}; \frac{2 \sqrt{7}}{7})$ .