Đề thi Học kì 1 Toán 8 – Đề 5 (có đáp án)

13 câu · Đề cuối kì 1

Đề này đang được cập nhật đáp án; bạn vẫn xem được toàn bộ câu hỏi.

Câu 1

Câu tự luận

Thực hiện phép tính:

$2 x (x - 3) - 2 x^{2} + 5 x$

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Phương pháp:

Sử dụng quy tắc nhân đơn, đa thức với đa thức và bảy hằng đẳng thức đáng nhớ:

Cách giải:

$2 x (x - 3) - 2 x^{2} + 5 x$

$= 2 x^{2} - 6 x - 2 x^{2} + 5 x$

$= - x$

Câu 2

Câu tự luận

Thực hiện phép tính:

(x - 2) (x + 2) + {(x - 2)}^{2}

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Phương pháp:

Sử dụng quy tắc nhân đơn, đa thức với đa thức và bảy hằng đẳng thức đáng nhớ:

Cách giải:

$(x - 2) (x + 2) - {(x - 2)}^{2}$

$= x^{2} - 4 - x^{2} + 4 x - 4$

$= 4 x - 8$

Câu 3

Câu tự luận

Thực hiện phép tính:

$\frac{x - 2}{x (x + 2)} + \frac{1}{x}$

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Phương pháp:

Sử dụng quy tắc nhân đơn, đa thức với đa thức và bảy hằng đẳng thức đáng nhớ:

Cách giải:

$\frac{x - 2}{x (x + 2)} + \frac{1}{x}$ $(D K : x \neq 0, x \neq - 2)$

$= \frac{x - 2 + x + 2}{x (x - 2)}$

$= \frac{2 x}{x (x - 2)} = \frac{2}{x - 2} .$

Câu 4

Câu tự luận

Phân tích đa thức thành nhân tử:

$3 x - 6 x^{2}$

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Phương pháp:

Sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, bảy hằng đẳng thức đáng nhớ.

Cách giải:

$3 x - 6 x^{2}$

$= 3 x (1 - 2 x)$

Câu 5

Câu tự luận

Phân tích đa thức thành nhân tử:

$x^{2} - (y^{2} + 2 y + 1)$

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Phương pháp:

Sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, bảy hằng đẳng thức đáng nhớ.

Cách giải:

$x^{2} - (y^{2} + 2 y + 1)$

$= x^{2} - {(y + 1)}^{2}$

$= (x + y + 1) (x - y - 1)$

Câu 6

Câu tự luận

Phân tích đa thức thành nhân tử:

$x^{2} + 2 x - y^{2} - 2 y$

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Phương pháp:

Sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, bảy hằng đẳng thức đáng nhớ.

Cách giải:

$x^{2} + 2 x - y^{2} - 2 y$

$= (x^{2} - y^{2}) + (2 x - 2 y)$

$= (x - y) (x + y) + 2 (x - y)$

$= (x - y) (x + y + 2)$

Câu 7

Câu tự luận

Tìm x, biết: ${(2 x - 1)}^{2} - 19 = 45.$

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Phương pháp:

Áp dụng hằng đẳng thức: $A^{2} - B^{2} = (A - B) (A + B)$

Cách giải:

${(2 x - 1)}^{2} - 19 = 45$

$\Leftrightarrow {(2 x - 1)}^{2} - 19 - 45 = 0$

$\Leftrightarrow {(2 x - 1)}^{2} - 64 = 0$

$\Leftrightarrow (2 x - 1 - 8) (2 x - 1 + 8) = 0$

$\Leftrightarrow (2 x - 9) (2 x + 7) = 0$

$\Leftrightarrow (\begin{matrix} 2 x - 9 = 0 \\ 2 x + 7 = 0 \end{matrix}) \Leftrightarrow (\begin{matrix} x = \frac{9}{2} \\ x = - \frac{7}{2} \end{matrix})$

Vậy $x = \frac{9}{2}$ hoặc $x = - \frac{7}{2} .$

Câu 8

Đề gốc thiếu nội dung câu này, đang bổ sung

Câu này chưa tính điểm. Đáp án sẽ được cập nhật sớm.

Câu 9

Câu tự luận

Một nền nhà hình chữ nhật ABCD có chiều dài 6,4 mét và chiều rộng 4,8 mét, người ta dự định trải lên nền nhà này một tấm thảm hình thoi có 4 đỉnh lần lượt là trung điểm M, N, P, Q của các cạnh hình chữ nhật ABCD. Tính cạnh của tấm thảm hình thoi đó.

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Phương pháp:

Sử dụng định lý Pitago.

Cách giải:

Giả sử $A B = 6,4 m, A D = 4,8 m$

Tấm thảm có dạng như hình vẽ trên.

Vì M là trung điểm của AB $\Rightarrow A M = M B = 6,4 : 2 = 3,2 m .$

Q là trung điểm của AD $\Rightarrow A Q = Q D = 4,8 : 2 = 2,4 m .$

Áp dụng định lý Pitago cho $Δ A M Q$ vuông tại A ta có:

$Q M = \sqrt{A M^{2} + A Q^{2}} = \sqrt{{3,2}^{2} + {2,4}^{2}} = \sqrt{16} = 4 m .$

Vậy cạnh của tấm thảm hình thoi là 4m

Câu 10

Câu tự luận

Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E là điểm đối xứng của B qua C.

Chứng minh tứ giác ACED là hình bình hành.

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Phương pháp:

Dựa vào tính chất, dấu hiệu nhận biết hình bình hành, hình thoi.

Cách giải:

Chứng minh tứ giác ACED là hình bình hành.

Ta có: E là điểm đối xứng với B qua C.

C là trung điểm của BE $\Rightarrow B C = E C .$

Xét tứ giác ACED ta có:

$A D // E C (A D // B C)$

$A D = C E (= B C)$

$\Rightarrow$ ACED là hình bình hành. (dhnb)

Câu 11

Câu tự luận

Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E là điểm đối xứng của B qua C.

Gọi M là trung điểm của BC. Tia AM cắt tia DC tại F. Chứng minh tứ giác BDEF là hình thoi.

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Phương pháp:

Dựa vào tính chất, dấu hiệu nhận biết hình bình hành, hình thoi.

Cách giải:

Gọi M là trung điểm của BC. Tia AM cắt tia DC tại F. Chứng minh tứ giác BDEF là hình thoi.

Xét $Δ A B M$ và $Δ F C M$ ta có:

$∠ A B M = ∠ F C M = 90 °$

$M B = M C (g t)$

$∠ A M B = ∠ C M F$ (hai góc đối đỉnh)

$\Rightarrow Δ A B M = Δ F C M$ (g – c – g)

$\Rightarrow A B = C F$ (hai cạnh tương ứng).

Mà $A B = D C (g t) \Rightarrow D C = C F .$

Xét tứ giác BDEF ta có: $B E ⊥ D F = (C)$

$B E \cap D F = (C)$

C là trung điểm của BE, DF

$\Rightarrow$ BDEF là hình thoi. (hình thoi có 2 đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường).

Câu 12

Câu tự luận

Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E là điểm đối xứng của B qua C.

Gọi I là giao điểm của AE và DC. Tia BI cắt DE tại K. Chứng minh $K I = \frac{1}{6} A E .$

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Phương pháp:

Dựa vào tính chất, dấu hiệu nhận biết hình bình hành, hình thoi.

Cách giải:

Gọi I là giao điểm của AE và DC. Tia BI cắt DE tại K. Chứng minh $K I = \frac{1}{6} A E$ .

Gọi $A C \cap B D = (H); A I \cap B D = O .$

Ta có: ACED là hình bình hành (cmt).

Mà $A E \cap C D = (I) \Rightarrow$ I là trung điểm của CD.

Lại có: O là trung điểm của AC

$\Rightarrow$ H là trực tâm của

$\Rightarrow \frac{I H}{A I} = \frac{1}{3} .$

Mà I là trung điểm của AE $\Rightarrow A I = \frac{1}{2} A E \Rightarrow I H = \frac{1}{6} A E .$

Ta có: BDEF là hình thoi (cmt)

$\Rightarrow$ DF là tia phân giác của (tính chất hình thoi).

$\Rightarrow ∠ B D C = ∠ C D E .$

Ta có: BDEF là hình thoi (cmt) $\Rightarrow B D = D E$ (hai cạnh bên).

Xét $Δ B D I$ và $Δ E D I$ ta có:

DI chung

$∠ I D B = ∠ I D E (c m t)$

$B D = D E (c m t)$

$\Rightarrow Δ B D I = Δ E D I$ (c – g – c).

$\Rightarrow ∠ D B I = ∠ D E I$ (hai góc tương ứng).

Và $I E = I B$ (hai cạnh tương ứng).

Xét $Δ H B I$ và $Δ K E I$ ta có:

$∠ H B I = ∠ K E I (c m t)$

$I E = I B (c m t)$

$∠ H I B = ∠ K I E$ (hai góc đối đỉnh)

$\Rightarrow Δ H B I = Δ K E I$ (g – c – g).

$\Rightarrow H I = I K .$

$\Rightarrow I K = \frac{1}{6} A E (d p c m) .$

Câu 13

Câu tự luận

Chứng minh rằng $a^{n} - b^{n} = (a + b) (a^{n - 1} - b^{n - 1}) - a b (a^{n - 2} - b^{n - 2}),$ với n là số tự nhiên và $n > 1.$

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Phương pháp:

Dựa vào quy tắc nhân đa thức với đa thức và công thức: $a^{n} . a^{m} = a^{n + m} .$

Cách giải:

Ta có: $V P = (a + b) (a^{n - 1} - b^{n - 1}) - a b (a^{n - 2} - b^{n - 2})$

$= a . a^{n - 1} + b . a^{n - 1} - a . b^{n - 1} - b . b^{n - 1} - a b . a^{n - 2} + a b . b^{n - 2}$

$= a^{n} + b a^{n - 1} - a b^{n - 1} - b^{n} - b a^{n - 1} + a b^{n - 1}$

$= a^{n} - b^{n} = V T$

Vậy $a^{n} - b^{n} = (a + b) (a^{n - 1} - b^{n - 1}) - a b (a^{n - 2} - b^{n - 2})$ với mọi $n \in ℕ, n > 1.$