Đề thi Học kì 1 Toán 8 – Đề 6 (có đáp án)

14 câu · Đề cuối kì 1

Đề tự luận: mỗi câu có đáp án tham khảo của đề gốc để bạn tự đối chiếu bài làm (không tính điểm).

Câu 1

Câu tự luận

Thực hiện phép tính:

$2 x (x + 3) + (1 - x) (2 x - 1)$

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Phương pháp: Sử dụng quy tắc nhân đơn, đa thức với đa thức và bảy hằng đẳng thức đáng nhớ:

+) Quy tắc: $A (B + C) = A B + A C$

$(A + B) (C + D) = A B + A C + B C + B D$

+) Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ.

Cách giải:

$2 x (x + 3) + (1 - x) (2 x - 1)$

$2 x^{2} + 6 x + 2 x - 1 - 2 x^{2} + x$

$= 9 x - 1$

Câu 2

Câu tự luận

Thực hiện phép tính:

$(x + 2) (x - 2) + (3 - x) (x + 1)$

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Phương pháp: Sử dụng quy tắc nhân đơn, đa thức với đa thức và bảy hằng đẳng thức đáng nhớ:

+) Quy tắc: $A (B + C) = A B + A C$

$(A + B) (C + D) = A B + A C + B C + B D$

+) Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ.

Cách giải:

$(x + 2) (x - 2) + (3 - x) (x + 1)$

$= x^{2} - 4 + 3 x + 3 - x^{2} - x$

$= 2 x - 1.$

Câu 3

Câu tự luận

Thực hiện phép tính:

$\frac{x}{x - 3} + \frac{9 - 6 x}{x^{2} - 3 x}$

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Phương pháp: Sử dụng quy tắc nhân đơn, đa thức với đa thức và bảy hằng đẳng thức đáng nhớ:

+) Quy tắc: $A (B + C) = A B + A C$

$(A + B) (C + D) = A B + A C + B C + B D$

+) Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ.

Cách giải:

$\frac{x}{x - 3} + \frac{9 - 6 x}{x^{2} - 3 x}$ $(D K : x \neq 0, x \neq 3)$

$= \frac{x}{x - 3} + \frac{9 - 6 x}{x (x - 3)}$

$= \frac{x^{2} + 9 - 6 x}{x (x - 3)}$

$= \frac{{(x - 3)}^{2}}{x (x - 3)}$

$= \frac{x - 3}{x} .$

Câu 4

Câu tự luận

Phân tích đa thức thành nhân tử:

$6 x^{3} y - 12 x^{2} y^{2}$

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Phương pháp:

Phân tích đa thức thành nhân tử nhờ các phương pháp: nhóm hạng tử chung, đặt nhân tử chung, phương pháp hằng đẳng thức, phương pháp phối hợp các phương pháp.

Cách giải:

$6 x^{3} y - 12 x^{2} y^{2} = 6 x^{2} y (x - 2 y)$

Câu 5

Câu tự luận

Phân tích đa thức thành nhân tử:

$x^{2} - 14 x + 49 - 4 y^{2}$

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Phương pháp:

Cách giải:

$x^{2} - 14 x + 49 - 4 y^{2} = {(x - 7)}^{2} - 4 y^{2} = (x - 7 + 2 y) (x - 7 - 2 y)$

Câu 6

Câu tự luận

Phân tích đa thức thành nhân tử:

$2 x^{2} - 7 x + 5$

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Phương pháp:

Cách giải:

$2 x^{2} - 7 x + 5 = 2 x^{2} - 2 x - 5 x + 5 = 2 x (x - 1) - 5 (x - 1) = (2 x - 5) (x - 1)$

Câu 7

Câu tự luận

Tìm x, biết: ${(x + 3)}^{2} - (x + 1) (x - 1) = 1$

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Phương pháp:

Giải phương trình bằng phương pháp đưa về phương trình tích hoặc phương trình bậc nhất một ẩn nhờ các quy tắc nhân đa thức với đa thức và chuyển vế đổi dấu…

Cách giải:

${(x + 3)}^{2} - (x + 1) (x - 1) = 1$

$\Leftrightarrow x^{2} + 6 x + 9 - x^{2} + 1 = 1$

$\Leftrightarrow 6 x + 9 = 0$

$\Leftrightarrow 6 x = - 9$

$\Leftrightarrow x = - \frac{3}{2}$

Vậy $x = - \frac{3}{2} .$

Câu 8

Câu tự luận

Tìm x, biết:

$(x + 1) (3 - x) + (8 - 12 x + 6 x^{2} - x^{3}) : (2 - x) = 10$

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Phương pháp:

Cách giải:

$(x + 1) (3 - x) + (8 - 12 x + 6 x^{2} - x^{3}) : (2 - x) = 10$

$\Leftrightarrow 3 x - x^{2} + 3 - x + {(2 - x)}^{3} : (2 - x) = 10$

$\Leftrightarrow - x^{2} + 2 x + 3 + {(2 - x)}^{2} = 10$

$\Leftrightarrow - x^{2} + 2 x + 3 + x^{2} - 4 x + 4 = 10$

$\Leftrightarrow - 2 x + 7 = 10$

$\Leftrightarrow 2 x = - 3$

$\Leftrightarrow x = - \frac{3}{2}$

Vậy

x = - \frac{3}{2}

Câu 9

Câu tự luận

Cho đa thức $M (x) = x^{3} + 3 x^{2} + 3 x - 2$ và đa thức $N (x) = x + 1$

Tìm đa thức thương và đa thức dư của phép chia đa thức cho đa thức

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Phương pháp:

Dựa vào quy tắc chia đa thức cho đa thức.

Cách giải:

Cho đa thức $M (x) = x^{3} + 3 x^{2} + 3 x - 2$ và đa thức $N (x) = x + 1$

Tìm đa thức thương và đa thức dư của phép chia đa thức $M (x)$ cho đa thức $N (x) .$

Ta có:

$\frac{\begin{matrix} x^{3} + 3 x^{2} + 3 x - 2 \\ - \\ x^{3} + x^{2} \end{matrix}}{\begin{matrix} 2 x^{2} + 3 x \\ - \\ \frac{2 x^{2} + 2 x}{\begin{matrix} x - 2 \\ - \\ \frac{x + 1}{- 3} \end{matrix}} \end{matrix}}$	$x + 1$
$x^{2} + 2 x + 1$

Vậy $M (x) : N (x)$ được thương bằng $x^{2} + 2 x + 1$ và dư 3.

Câu 10

Câu tự luận

Cho đa thức $M (x) = x^{3} + 3 x^{2} + 3 x - 2$ và đa thức $N (x) = x + 1$

Tìm các giá trị nguyên của $x$ sao cho giá trị của đa thức $M (x)$ chia hết cho giá trị của đa thức $N (x) .$

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Phương pháp:

Dựa vào quy tắc chia đa thức cho đa thức.

Cách giải:

Tìm các giá trị nguyên của $x$ sao cho giá trị của đa thức $M (x)$ chia hết cho giá trị của đa thức $N (x) .$

Điều kiện: $x \neq - 1.$

Ta có: $M (x) = N (x) . (x^{2} + 2 x + 1) - 3$

$\Leftrightarrow \frac{M (x)}{N (x)} = x^{2} + 2 x + 1 - \frac{3}{N (x)}$

$\Leftrightarrow \frac{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x - 2}{x + 1} = x^{2} + 2 x + 1 - \frac{3}{x + 1}$

Để $M (x) ⋮ N (x) \Rightarrow 3 ⋮ (x + 1) \Rightarrow x + 1 \in U (3) = (\pm 1; \pm 3)$

Ta có bảng:

$x + 1$	$- 1$	1	$- 3$	3
$x$	$- 2$ (tm)	0 (tm)	$- 4$ (tm)	2 (tm)

Vậy với $x \in (- 4; - 2; 0; 2)$ thì $M (x)$ chia hết cho $N (x) .$

Câu 11

Câu tự luận

Cho $Δ A B C$ nhọn $(A B < A C)$ . Kẻ đường cao $A H .$ Gọi $M$ là trung điểm của $A B, N$ là điểm đối xứng của $H$ qua $M .$

Chứng minh: Tứ giác $A N B H$ là hình chữ nhật.

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Phương pháp:

Sử dụng dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật.

Cách giải:

Chứng minh: Tứ giác $A N B H$ là hình chữ nhật.

Vì $N$ là điểm đối xứng của $H$ qua $M$

$\Rightarrow M$ là trung điểm của

Lại có $M$ là trung điểm của $A B (g t)$

$\Rightarrow A N B H$ là hình bình hành. (tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường).

Lại có: $∠ A H B = 90 °$ (do $A H ⊥ B C (g t)$ )

$\Rightarrow A N B H$ là hình chữ nhật. (dhnb).

Media VietJack

Câu 12

Câu tự luận

Cho $Δ A B C$ nhọn $(A B < A C)$ . Kẻ đường cao $A H .$ Gọi $M$ là trung điểm của $A B, N$ là điểm đối xứng của $H$ qua $M .$

Trên tia đối của tia $H B$ lấy điểm $E$ sao cho $H$ là trung điểm của $B E .$ Gọi $F$ là điểm đối xứng với $A$ qua $H .$ Chứng minh: Tứ giác $A B F E$ là hình thoi.

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Phương pháp

Sử dụng dấu hiệu nhận biết hình thoi.

Ta có: $F$ là điểm đối xứng của $A$ qua $H$

$\Rightarrow H$ là trung điểm của

Lại có: $H$ là trung điểm của BE

$\Rightarrow A B F E$ là hình bình hành. (tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường).

Lại có: $A H ⊥ B C (g t) \Rightarrow A F ⊥ B E = {H}$

$\Rightarrow A B F E$ là hình thoi. (dhnb)

Media VietJack

Câu 13

Câu tự luận

Cho $Δ A B C$ nhọn $(A B < A C)$ . Kẻ đường cao $A H .$ Gọi $M$ là trung điểm của $A B, N$ là điểm đối xứng của $H$ qua $M .$

Gọi $I$ là giao điểm của $A H$ và $N E .$ Chứng minh: $M I // B C .$

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Phương pháp:

Sử dụng các mối quan hệ vuông góc và song song.

Cách giải:

Gọi $I$ là giao điểm của $A H$ và $N E .$ Chứng minh: $M I // B C .$

Ta có: $A N B H$ là hình chữ nhật (cmt) $\Rightarrow (\begin{matrix} A N = B H \\ A N // B H \end{matrix}) .$ (tính chất hình chữ nhật)

Mà $B H = H E \Rightarrow B H = H E$

$\Rightarrow (\begin{matrix} A N = H E \\ A N // H E (A N // B H) \end{matrix}) \Rightarrow A N H E$ là hình bình hành. (dhnb)

$\Rightarrow A H \cap N E = (I)$ với $I$ là trung điểm của $N E$ và $A H .$

Xét $Δ A B H$ ta có:

$M, I$ lần lượt là trung điểm của và

$\Rightarrow M I$ là đường trung bình của (định nghĩa).

$\Rightarrow M I / / B H$ hay $M I / / B C$ (dpcm).

Câu 14

Câu tự luận

Cho $Δ A B C$ nhọn $(A B < A C)$ . Kẻ đường cao $A H .$ Gọi $M$ là trung điểm của $A B, N$ là điểm đối xứng của $H$ qua $M .$

Đường thẳng $M I$ cắt $A C$ tại $K .$ Kẻ $N Q$ vuông góc với $K H$ tại $Q .$ Chứng minh: $A Q ⊥ B Q .$

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Phương pháp:

Sử dụng các mối quan hệ vuông góc và song song.

Cách giải:

Media VietJack

Đường thẳng $M I$ cắt $A C$ tại $K .$ Kẻ $N Q$ vuông góc với $K H$ tại $Q .$ Chứng minh: $A Q ⊥ B Q .$

Ta có: $M$ là trung điểm của $N H (c m t) .$

$\Rightarrow Q M$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của $Δ N H Q$ vuông tại $Q .$

Mà $N H = A B$ (do $A N B H$ là hình chữ nhật).

Xét $Δ A Q B$ ta có:

$Q M$ là đường trung tuyến ứng với cạnh của tam giác

$Q M = \frac{1}{2} A B (c m t)$

$\Rightarrow Q M$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của

$\Rightarrow Δ A B Q$ vuông tại $Q$ hay $A Q ⊥ B Q .$ (đpcm).