Bộ 24 Đề kiểm tra Giữa kì 2 Toán 11 có đáp án (Mới nhất) (Đề 21)

Lờigiải

Hàm số $f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}\frac{x^2-1}{x-1}\text{ khi }x\ne 1\\ 2\text{ khi }x=1\end{array}$ có tập xác định là R.

+ Với mọi $x\in \left(-\infty ;1\right)$ thì $f\left(x\right)=\frac{x^2-1}{x-1}$

Ta có:  $\forall x_0\in \left(-\infty ;1\right)$, $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{x_0^2-1}{x_0-1}=f\left(x_0\right)$

Nên hàm số f liên tục trên $\left(-\infty ;1\right)$ (1)

+ Với mọi $x\in \left(1;+\infty \right)$ thì $f\left(x\right)=\frac{x^2-1}{x-1}$

Ta có:  $\forall x_0\in \left(1;+\infty \right)$, $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{x_0^2-1}{x_0-1}=f\left(x_0\right)$

Nên hàm số f liên tục trên $\left(1;+\infty \right)$ (2)

+ Tại x=1:

Ta có $f\left(1\right)=2$ và $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)$$=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-1}{x-1}$$=\underset{x\to 1}{\lim }\left(x+1\right)$=2

$\Rightarrow \underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)=f\left(1\right)$

Tức hàm số f liên tục tại x=1 (3)     

Từ (1), (2) và (3). Suy ra, hàm số f liên tục trên R.

Kết luận: Hàm số f liên tục trên R.   

Lờigiải

Ta có: $\frac{1}{(2k-1).(2k+1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k-1}\right),\forall k\in {\mathbb{N}}^{{}^{*}}$

Do đó:  $\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+\mathrm{...}+\frac{1}{\left(2n-1\right)\left(2n+1\right)}$

              $=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\mathrm{...}+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)$

              $=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2n+1}\right)=\frac{n}{2n+1}$.

Nên $\lim \left(\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+\mathrm{...}+\frac{1}{\left(2n-1\right)\left(2n+1\right)}\right)$

          $=\text{lim}\frac{n}{2n+1}$$=\text{lim}\frac{n}{n\left(2+\frac{1}{n}\right)}$

          $=\text{lim}\frac{1}{\left(2+\frac{1}{n}\right)}=\frac{1}{2+0}=\frac{1}{2}$.

Kết luận: $\lim \left(\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+\mathrm{...}+\frac{1}{\left(2n-1\right)\left(2n+1\right)}\right)=\frac{1}{2}$.

Lờigiải

Ta có:

$\frac{\sqrt{2x+4}+\sqrt[3]{5x+8}-\sqrt{3x+1}-3}{x^2+3x}$

$=\frac{\left(\sqrt{2x+4}-2\right)+\left(\sqrt[3]{5x+8}-2\right)-\left(\sqrt{3x+1}-1\right)}{\left(x+3\right)x}$

$=\frac{2x}{\left(\sqrt{2x+4}+2\right)\left(x+3\right)x}+\frac{5x}{\left({\left(\sqrt[3]{5x+8}\right)}^2+2\sqrt[3]{5x+8}+2^2\right)\left(x+3\right)x}-\frac{3x}{\left(\sqrt{3x+1}+1\right)\left(x+3\right)x}$

$=\frac{2}{\left(\sqrt{2x+4}+2\right)\left(x+3\right)}+\frac{5}{\left({\left(\sqrt[3]{5x+8}\right)}^2+2\sqrt[3]{5x+8}+4\right)\left(x+3\right)}-\frac{3}{\left(\sqrt{3x+1}+1\right)\left(x+3\right)}$

Do đó $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{2x+4}+\sqrt[3]{5x+8}-\sqrt{3x+1}-3}{x^2+3x}$

$=\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{2}{\left(\sqrt{2x+4}+2\right)\left(x+3\right)}+\frac{5}{\left({\left(\sqrt[3]{5x+8}\right)}^2+2\sqrt[3]{5x+8}+4\right)\left(x+3\right)}-\frac{3}{\left(\sqrt{3x+1}+1\right)\left(x+3\right)}\right)$

$=\frac{2}{\left(2+2\right)3}+\frac{5}{\left(4+4+4\right)3}-\frac{3}{\left(1+1\right)3}$

$=\frac{1}{6}+\frac{5}{36}-\frac{1}{2}=-\frac{7}{36}$.

Kết luận: $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{2x+4}+\sqrt[3]{5x+8}-\sqrt{3x+1}-3}{x^2+3x}=-\frac{7}{36}$.

Giả sử M, N, P, Q đồng phẳng:

Ta có: (MNPQ)$\cap$(BAC) = MN, (MNPQ)$\cap$(DAC) = PQ, (BAC)$\cap$(DAC) = AC.