Bộ 4 Đề kiểm tra học kì 2 Chuyên đề toán 11: Kiểm tra cuối kì có đáp án (Đề 3)

29 câu · Đề cuối kì 2

9/29 câu đang cập nhật đáp án (ghi rõ ở từng câu), chưa tính điểm; điểm tính trên 20 câu còn lại.

Câu 1

Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?

Đáp án và lời giải

Đáp án: D

Câu 2

Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?

Đáp án và lời giải

Đáp án: D

Câu 3

Đạo hàm của hàm số $f (x) = \frac{- 3 x + 4}{2 x + 1}$ tại $x = - 1$ bằng

Đáp án và lời giải

Đáp án: B

Câu 4

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C) : y = 3 x - 4 x^{3}$ tại điểm có hoành độ $x_{0} = 0$ là

Đáp án và lời giải

Đáp án: B

Câu 5

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a, $S A ⊥ (A B C)$ và $S A = a \sqrt{6}$ . Gọi M là trung điểm của BC, khi đó khoảng cách từ A đến đường thẳng SM bằng

Đáp án và lời giải

Đáp án: A

Câu 6

Cho dãy số $u_{n} = n (\sqrt{n^{2} + 1} - n)$ . Khi đó $\lim u_{n}$ bằng

Đáp án và lời giải

Đáp án: A

Câu 7

Giới hạn $\lim_{x \to 1^{-}} \frac{2 x + 1}{x - 1}$ bằng

Đáp án và lời giải

Đáp án: C

Câu 8

Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?

Đáp án và lời giải

Đáp án: D

Câu 9

Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y = 2 x^{3} - 3 x^{2} + 5$ tại điểm có hoành độ -2 là

Đáp án và lời giải

Đáp án: A

Câu 10

Hãy chọn phát biểu sai trong các phát biểu sau

Đáp án và lời giải

Đáp án: B

Câu 11

Cho hàm số $f (x) = {\begin{matrix} \frac{x^{2} - 3}{x - \sqrt{3}}, x \neq \sqrt{3} \\ 2 \sqrt{3}, x = \sqrt{3} \end{matrix}$ và các khẳng định

(I) $f (x)$ liên tục tại $x = \sqrt{3}$ .

(II) $f (x)$ gián đoạn tại $x = \sqrt{3}$ .

(III) $f (x)$ liên tục trên $ℝ$ .

Khẳng $f (x)$ định đúng là

Đáp án và lời giải

Đáp án: C

Câu 12

Giá trị của $\lim (\sqrt{n^{2} + 6 n} - n)$ bằng

Đáp án và lời giải

Đáp án: D

Câu 13

Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình

S = t^{2} - 2 t + 3

, trong đó t được tính bằng giây và s được tính bằng mét. Vận tốc của chuyển động tại thời điểm t=2s là

Đáp án và lời giải

Đáp án: A

Câu 14

Cho hình chóp S.ABC có $S A ⊥ (A B C)$ và $A B ⊥ B C$ , gọi I là trung điểm BC. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là góc nào sau đây?

Đáp án và lời giải

Đáp án: B

Câu 15

Giá trị

\lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1}{2 x^{3} + 2}

bằng

Đáp án và lời giải

Đáp án: C

Câu 16

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, $S A ⊥ (A B C D)$ . Mặt phẳng qua A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD theo thứ tự tại H, M, K. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau

Đáp án và lời giải

Đáp án: A

Câu 17

Cho hình lập phương $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ cạnh a. Tích vô hướng $\vec{A B} . \vec{A^{'} D}$ bằng

Đáp án và lời giải

Đáp án: C

Câu 18

Xét hai khẳng định

(1) Hàm số $y = \frac{| x |}{x + 1}$ liên tục tại x=0.

(2) Hàm số $y = \frac{| x |}{x + 1}$ có đạo hàm tại x=0.

Trong hai khẳng định trên

Đáp án và lời giải

Đáp án: D

Câu 19

Vi phân của hàm số $y = \frac{\tan \sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ là

Đáp án và lời giải

Đáp án: C

Câu 20

Giới hạn $\lim_{x \to + \infty} [\sqrt[n]{(x + a_{1}) (x + a_{2}) ... (x + a_{n})} - x]$ bằng

Đáp án và lời giải

Đáp án: B

Câu 21

Câu tự luận

a) Tính giới hạn $\lim \frac{3^{n} - 1}{2^{n} - {2.3}^{n} + 1}$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

a) Ta có

\lim \frac{3^{n} - 1}{2^{n} - {2.3}^{n} + 1} = \lim \frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{n}}{{(\frac{2}{3})}^{n} - 2 + {(\frac{1}{3})}^{n}} = - \frac{1}{2}

Câu 22

Câu tự luận

b) Tính giới hạn $\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x + 2} - 2}{x - 2}$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

b) Ta có $\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x + 2} - 2}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(\sqrt{x + 2} - 2) (\sqrt{x + 2} + 2)}{(x - 2) (\sqrt{x + 2} + 2)} = \lim_{x \to 2} \frac{x - 2}{(x - 2) (\sqrt{x + 2} + 2)}$

= \lim_{x \to 2} \frac{1}{\sqrt{x + 2} + 2} = \frac{1}{4}

. Vậy

\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x + 2} - 2}{x - 2} = \frac{1}{4}

Câu 23

Câu tự luận

c) Tính giới hạn $\lim_{x \to + \infty} \frac{1}{\sqrt{x^{2} + x + 2} - x}$

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

c) Ta có $\lim_{x \to + \infty} \frac{1}{\sqrt{x^{2} + x + 2} - x} = \lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{x^{2} + x + 2} + x}{x^{2} + x + 2 - x^{2}} = \lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{x^{2} + x + 2} + x}{x + 2}$

$= \lim_{x \to + \infty} \frac{x \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{2}}} + x}{x + 2} = \lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{2}}} + 1}{1 + \frac{2}{x}} = 2$

Câu 24

Câu tự luận

a) Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số $f (x) = {\begin{matrix} m^{2} x^{2} k h i x \leq 2 \\ (1 - m) x k h i x > 2 \end{matrix}$ liên tục trên $ℝ$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

a) Tập xác định $D = ℝ$ . Hàm số liên tục trên mỗi khoảng $(- \infty; 2)$ ; $(2; + \infty)$ .

Khi đó $f (x)$ liên tục trên $ℝ \Leftrightarrow f (x)$ liên tục tại x=2

$\Leftrightarrow \lim_{x \to 2} f (x) = f (2) \Leftrightarrow \lim_{x \to 2^{+}} f (x) = \lim_{x \to 2^{-}} f (x) = f (2)$ (*)

Ta có

${\begin{matrix} f (2) = 4 m^{2} \\ \lim_{x \to 2^{+}} f (x) = \lim_{x \to 2^{+}} [(1 - m) x] = 2 (1 - m) \\ \lim_{x \to 2^{-}} f (x) = \lim_{x \to 2^{-}} m^{2} x^{2} = 4 m^{2} \end{matrix} \Rightarrow (*) \Leftrightarrow 4 m^{2} = 2 (1 - m) \Leftrightarrow [\begin{matrix} m = - 1 \\ m = \frac{1}{2} \end{matrix}$

Câu 25

Câu tự luận

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = x^{3} - 2 x + 3$ tại điểm $M (1; 2)$

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

b) Đạo hàm $y^{'} = 3 x^{2} - 2 \Rightarrow$ hệ số góc $k = y^{'} (1) = 1$

Ta có

(\begin{matrix} x_{0} = 1 \\ y_{0} = 2 \\ k = 1 \end{matrix}) \Rightarrow

phương trình tiếp tuyến

y = (x - 1) + 2 \Leftrightarrow y = x + 1

Câu 26

Câu tự luận

c) Viết phương trình tiếp tuyến song song với trục hoành của đồ thị hàm số $y = x^{4} - 2 x^{2} + 10$

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

c) Xét $y^{'} = 4 x^{3} - 4 x$ . Vì tiếp tuyến song song với trục hoành nên

$k = y^{'} (x_{0}) = 0 \Leftrightarrow 4 x_{0}^{3} - 4 x_{0} = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x_{0} = 0 \\ x_{0} = 1 \\ x_{0} = - 1 \end{matrix}$

Với $x_{0} = 0 \Rightarrow y_{0} = 10$ . Phương trình tiếp tuyến $y = 0 (x - 0) + 10 \Leftrightarrow y = 10$

Với $x_{0} = 1 \Rightarrow y_{0} = 9$ . Phương trình tiếp tuyến $y = 0 (x - 1) + 9 \Leftrightarrow y = 9$ .

Với $x_{0} = - 1 \Rightarrow y_{0} = 9$ . Phương trình tiếp tuyến $y = 0 (x + 1) + 9 \Leftrightarrow y = 9$

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là

y = 9, y = 10

Câu 27

Câu tự luận

Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên (SAB), (SAD) vuông góc với đáy, các mặt bên (SBC), (SCD) cùng tạo với đáy góc 60°

a) Chứng minh rằng $\hat{S B A} = \hat{S D A} = 60 °$

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Media VietJack

Hai mặt phẳng (SAB), (SAD) cùng vuông góc với mặt đáy nên có giao tuyến SA cũng vuông góc mặt đáy.

(\begin{matrix} B C ⊥ S A (d o S A ⊥ (A B C D)) \\ B C ⊥ A B \end{matrix}) \Rightarrow B C ⊥ (S A B) \Rightarrow B C ⊥ S B

(\begin{matrix} C D ⊥ S A (d o S A ⊥ (A B C D)) \\ C D ⊥ A D \end{matrix}) \Rightarrow C D ⊥ (S A D) \Rightarrow C D ⊥ S D

a) Ta có $(\begin{matrix} (S A B) \cap (A B C D) = B C \\ S B \subset (S A B); S B ⊥ B C \\ A B \subset (A B C D); A B ⊥ B C \end{matrix})$

$\Rightarrow (\hat{(S A B); (A B C D)}) = (\hat{S B, A B}) = \hat{S B A} = 60 °$

Tương tự $(\begin{matrix} (S C D) \cap (A B C D) = C D \\ D C \subset (S C D); S D ⊥ C D \\ A D \subset (A B C D); A D ⊥ C D \end{matrix})$

\Rightarrow (\hat{(S A D); (A B C D)}) = (\hat{S D, A D}) = \hat{S D A} = 60 °

Câu 28

Câu tự luận

b) Chứng minh rằng $(S A C) ⊥ (S B D)$

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

b) Ta có $(\begin{matrix} B D ⊥ S A (d o S A ⊥ (A B C D)) \\ B D ⊥ A C \end{matrix}) \Rightarrow B D ⊥ (S A C)$

Mà

B D \subset (S B D)

nên

(S B D) ⊥ (S A C)

Câu 29

Câu tự luận

c) Gọi M, N là trung điểm BC, CD. Xác định thiết diện của hình chóp đi qua M, N và song song với SC. Tính diện tích thiết diện.

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

c) Gọi ${I} = M N \cap A C$ . Từ I kẻ đường thẳng song song với SC cắt SA tại Q.

Ta có ${\begin{matrix} I Q q u a I \in (P) \\ I Q / / S C \\ S C / / (P) \end{matrix} \Rightarrow I Q \subset (P)$ hay $(P) \equiv (Q M N)$ .

Gọi ${K} = S O \cap Q I$ . Qua K kẻ đường thẳng song song với BD cắt SB, SD tại R, P.

Ta có ${\begin{matrix} R P q u a K \in (P) \\ R P / / M N \\ M N \subset (P) \end{matrix} \Rightarrow R P \subset (P)$ hay $(P) \equiv (M N P Q R)$

Dựa vào hình vẽ ta có thiết diện cần tìm là ngũ giác MNPQR.

Ta có $S_{M N P Q R} = S_{M N P R} + S_{P Q R}$

Mặt phẳng (P) cắt (SBC) theo giao tuyến RM và (P) song song với SC nên RM // SC.

Mặt phẳng (P) cắt (SCD) theo giao tuyến NP và (P) song song với SC nên NP // SC

Vậy tứ giác MNPR là hình bình hành có $M N ⊥ N P$ (do MN // BD; NP // SC; $B D ⊥ S C$ ) nên là hình chữ nhật.

Tam giác PQR có PR // BD; $B D ⊥ (S A C)$ chứa QK nên là $Q K ⊥ P R$ .

Do QK // SC và $\frac{A I}{A C} = \frac{3}{4}$ nên

$Q I = \frac{3}{4} S C = \frac{3}{4} \sqrt{S A^{2} + A C^{2}} = \frac{3}{4} \sqrt{{(a \sqrt{3})}^{2} + {(a \sqrt{2})}^{2}} = \frac{3 a \sqrt{5}}{4}$

Suy ra $Q K = Q I - K I = Q I - \frac{S C}{2} = \frac{3 a \sqrt{5}}{4} - \frac{a \sqrt{5}}{2} = \frac{3 a \sqrt{5}}{4}$

$\Rightarrow S_{P Q R} = \frac{1}{2} P R . Q K = \frac{1}{2} . \frac{a \sqrt{2}}{2} . \frac{a \sqrt{5}}{4} = \frac{a^{2} \sqrt{10}}{16}$

Lại có $S_{M N P R} = M N . N P = \frac{B D}{2} . \frac{S C}{2} = \frac{a \sqrt{2}}{2} . \frac{a \sqrt{5}}{2} = \frac{a^{2} \sqrt{10}}{4}$

Suy ra

S_{M N P Q R} = S_{M N P R} + S_{P Q R} = \frac{a^{2} \sqrt{10}}{4} + \frac{a^{2} \sqrt{10}}{16} = \frac{5 a^{2} \sqrt{10}}{16}