Bộ 5 Đề kiểm tra học kì 1 Chuyên đề toán 11: Kiểm tra 45 phút có đáp án (Đề 7)

Ta có $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\left(x+m\right)=m;\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\left(x^2+1\right)=1$

Hàm số có giới hạn tại $x=0\iff \underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)\iff m=1$

Ta có $\sqrt{x^2+2x}-\sqrt[3]{x^3+3x^2}=\sqrt{x^2+2x}-\left(x+1\right)-\left(\sqrt[3]{x^3+3x^2}-\left(x+1\right)\right)$
$=\frac{-1}{\sqrt{x^2+2x}+\left(x+1\right)}+\frac{3x+1}{\sqrt[3]{{\left(x^3+3x^2\right)}^2}+\left(x+1\right)\sqrt[3]{x^3+3x^2}+{\left(x+1\right)}^2}$
Suy ra $\underset{x\to +\infty }{\lim }x\left(\sqrt{x^2+2x}-\sqrt[3]{x^3+3x^2}\right)$

Ta có $x^3-x^2-x+1={\left(x-1\right)}^2\left(x+1\right)$  có nghiệm kép x=1.

Suy ra phương trình $\sqrt{6+a{x}^2}-bx-2=0$   phải có nghiệm kép là

$\Rightarrow 6+a{x}^2-{\left(bx+2\right)}^2=0$

 có nghiệm kép x=1

$\iff \left(a-b^2\right)x^2-4bx+2=0$ có nghiệm kép x=1

$\iff a=3;b=1$

Khi đó $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt{6+3x^2}-x-2}{x^3-x^2-x+1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\frac{2{\left(x-1\right)}^2}{\sqrt{6+3x^2}+\left(x+2\right)}}{{\left(x-1\right)}^2\left(x+1\right)}$

$=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\frac{2}{\sqrt{6+3x^2}+\left(x+2\right)}}{\left(x+1\right)}=\frac{1}{6}$

Suy ra $c=\frac{1}{6}$

Tập xác định $D=ℝ$ .

Hàm số liên tục trên $\left(-\infty ;1\right)$  và $\left(1;+\infty \right)$ .

 $f\left(1\right)=2m+\frac{1}{4}$và $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(mx+m+\frac{1}{4}\right)=2m+\frac{1}{4}$ .

Ta có$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{\sqrt{5x-1}-2}{x-1}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{5x-1-4}{\left(x-1\right)\left(\sqrt{5x-1}+2\right)}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{5}{\sqrt{5x-1}+2}=\frac{5}{4}$

Hàm số liên tục trên R khi và chỉ khi hàm số liên tục tại điểm x=1

$\iff 2m+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}\iff m=\frac{1}{2}$