Đề thi cuối kì 1 Toán 9 Cánh diều cấu trúc mới – Đề 3 (có đáp án)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng.      c) Sai.          d) Đúng.

• Theo đề bài, phần ngọn bị gãy $AB$ và phần gốc $AC$ có tỉ lệ $3:2$ hay $\frac{AB}{AC}=\frac{3}{2}$, suy ra $\frac{AC}{AB}=\frac{2}{3}$.

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $C$, ta có: $\sin \widehat{ABC}=\frac{AC}{AB}=\frac{2}{3}$. Do đó, ý a) là đúng.

• Vì $\sin \widehat{ABC}=\frac{AC}{AB}=\frac{2}{3}$ nên $\alpha =\widehat{ABC}\approx 41^{\circ }49^{\prime }.$ Do đó, ý b) là đúng.

• Xét tam giác $ABC$ vuông tại $C$, ta có: $AC=BC\cdot \tan \widehat{ABC}\approx 5\cdot \tan 41^{\circ }49^{\prime }\approx 4,47(\mathrm{m}).$

Mà $\frac{AB}{AC}=\frac{3}{2}$, suy ra $AB=\frac{3}{2}AC\approx \frac{3}{2}\cdot 4,47=6,705(\mathrm{m}).$

Độ dài phần ngọn bị gãy là độ dài đoạn thẳng $AB$. Do đó, ý c) là sai.

• Độ dài cây ban đầu là tổng của phần ngọn bị gãy $AB$ và phần gốc $AC$.

Vậy chiều cao ban đầu của cây khoảng: $$4,47+6,705=11,175\approx 11,18(\mathrm{m}).$$Do đó, ý d) là đúng.

Hướng dẫn giải

    a) Với $a>0,a\ne 1$, ta có:

$$A=\left(\frac{\sqrt{a}}{2}-\frac{1}{2\sqrt{a}}\right)\left(\frac{a-\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1}-\frac{a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}\right)$$

   $$=\left(\frac{a}{2\sqrt{a}}-\frac{1}{2\sqrt{a}}\right)\left[\frac{\left(\sqrt{a}-1\right)\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1}-\frac{\left(\sqrt{a}+1\right)\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}\right]$$

$$=\frac{a-1}{2\sqrt{a}}\left[\frac{{\left(\sqrt{a}-1\right)}^2\sqrt{a}}{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}-\frac{{\left(\sqrt{a}+1\right)}^2\sqrt{a}}{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}\right]$$

$$=\frac{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}{2\sqrt{a}}\cdot \frac{{\left(\sqrt{a}-1\right)}^2\sqrt{a}-{\left(\sqrt{a}+1\right)}^2\sqrt{a}}{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}$$

$$=\frac{{\left(\sqrt{a}-1\right)}^2\sqrt{a}-{\left(\sqrt{a}+1\right)}^2\sqrt{a}}{2\sqrt{a}}$$

 $$=\frac{\left(a-2\sqrt{a}+1\right)\sqrt{a}-\left(a+2\sqrt{a}+1\right)\sqrt{a}}{2\sqrt{a}}$$

$$=\frac{a\sqrt{a}-2a+\sqrt{a}-a\sqrt{a}-2a-\sqrt{a}}{2\sqrt{a}}$$

$$=\frac{-4a}{2\sqrt{a}}$$

$$=-2\sqrt{a}$$.

Vậy $$A=-2\sqrt{a}$$ với $a>0,a\ne 1$.

b) Ta có: $\left|a-1\right|=1$ suy ra $a-1=1$ hoặc $a-1=-1$.

Suy ra $a=2$ (thỏa mãn) hoặc $a=0$ (loại).

Thay $a=2$ vào $$A=-2\sqrt{a}$$ được $$A=-2\sqrt{2}$$.

Hướng dẫn giải

$\left(O\right)$ và điểm $$A$$ nằm bên (ảnh 1)">

a) Vì $AM,AN$ là hai tiếp tuyến của đường tròn $\left(O\right)$ lần lượt tại $M,N$ nên $AM\perp OM,AN\perp ON.$

Gọi $$E$$ là trung điểm của $$OA$$. Khi đó $OE=AE=\frac{1}{2}OA.$

Xét $$\Delta MOA$$ vuông tại $$M$$ có $$ME$$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $OA$ nên $$ME=\frac{1}{2}OA$$.

Xét $$\Delta NOA$$ vuông tại $$N$$ có $$NE$$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $OA$ nên $$NE=\frac{1}{2}OA$$.

Vì $$NE=ME=OE=AE=\frac{1}{2}OA$$ nên bốn điểm $$A,M,O,N$$ cùng thuộc đường tròn tâm $$E,$$ đường kính $$OA$$.

b) Xét $$\Delta COB$$ cân tại $$O$$ (do $$OC=OB$$) có $$OI$$ là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao, do đó $$OI\perp BC$$. Suy ra $$\Delta IOA$$ vuông tại $$I$$.

Xét $$\Delta IOA$$ vuông tại $$I$$ có $$IE$$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $OA$ nên $$IE=\frac{1}{2}OA$$.

Khi đó, ta có $$NE=IE=OE=AE=\frac{1}{2}OA$$ nên bốn điểm $$A,I,O,N$$ cùng thuộc đường tròn tâm $$E,$$ đường kính $$OA$$.

Suy ra $$\widehat{AIN}=\widehat{AON}$$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $$AN$$ của đường tròn tâm $$E$$). (*)

Xét đường tròn $\left(O\right)$ có $$AM,AN$$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $$A$$, suy ra $$OA$$ là phân giác của $$\widehat{MON}$$

Do đó, $$\widehat{AON}=\frac{1}{2}\widehat{MON}$$.

Mà $$\widehat{NFM}=\frac{1}{2}\widehat{MON}$$ (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung $$MN$$)

Suy ra $$\widehat{NFM}=\widehat{AON}$$ (**)

Từ (*) và (**), suy ra $$\widehat{NFM}=\widehat{AIN}$$.

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị, do đó $$MF//AC$$.

c)

$\left(O\right)$ và điểm $$A$$ nằm bên (ảnh 2)">

⦁ Gọi $H$ là giao điểm của $MN$ và $OA.$

Ta có $AM=AN$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) và $OM=ON$ nên $A,O$ cùng nằm trên đường trung trực của $MN$ hay $OA$ là đường trung trực của $MN$.

Suy ra $$MN\perp OA$$ hay $$HN\perp OA$$.

Xét $$\Delta OHN$$ và $$\Delta ONA$$, có: $$\widehat{OHN}=\widehat{ONA}=90^{\circ }$$ và $$\widehat{AON}$$ là góc chung

Do đó (g.g)

Suy ra $$\frac{OH}{ON}=\frac{ON}{OA}$$ suy ra $$OH.OA=O{N}^2=R^2$$ (3).

⦁ Ta có $OC=OB,IC=IB$ (do $I$ là trung điểm của $BC),$ $KC=KB$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên ba điểm $O,I,K$ thẳng hàng.

Xét $$\Delta OIB$$ và $$\Delta OBK$$, có: $$\widehat{OIB}=\widehat{OBK}=90^{\circ }$$ và $$\widehat{BOK}$$ là góc chung

Do đó  (g.g)

Suy ra $$\frac{OI}{OB}=\frac{OB}{OK}$$ suy ra $$OI.OK=O{B}^2=R^2$$ (4).

Từ (3) và (4) suy ra $$OI.OK=OH.OA=R^2.$$ Từ đó, ta có $$\frac{OI}{OH}=\frac{OA}{OK}$$.

Xét $$\Delta OIA$$ và $$\Delta OHK$$ có: $$\widehat{AOK}$$ là góc chung và $$\frac{OI}{OH}=\frac{OA}{OK}$$

Do đó  (c.g.c)

Suy ra $$\widehat{OHK}=\widehat{OIA}=90^{\circ }$$, suy ra $$HK\perp OA$$.

Mà $$MN\perp OA$$ tại $$H$$ và $$MN$$ cố định (do điểm $A$ cố định), do đó $$K$$ thuộc $$MN$$ cố định.

Hướng dẫn giải

Gọi cạnh hình vuông được uốn từ đoạn $AB$ là $x$ ($0<x<8$, đơn vị: m).

Lúc này, độ dài đoạn $AB$ chính là chu vi hình vuông đó và bằng $4x$ (m).

Do đó, độ dài đoạn $BC$ là $8-4x$ (m).

Suy ra, độ dài cạnh hình vuông được uốn bởi đoạn $BC$ là $\frac{8-4x}{4}=2-x$ (m).

Tổng diện tích hai hình vuông lúc này là: $x^2+{\left(2-x\right)}^2({\mathrm{m}}^2).$

Ta có: $x^2+{\left(2-x\right)}^2=2x^2-4x+4=2\left(x^2-2x+1\right)+2=2{\left(x-1\right)}^2+2\ge 2$.

Tổng diện tích hai hình vuông đạt giá trị nhỏ nhất bằng $2m^2$ khi $x-1=0$ hay $x=1.$

Khi đó, độ dài đoạn thẳng $AB=4\mathrm{m}$và độ dài đoạn thẳng $BC=8-4=4\mathrm{m}$ hay $B$ là trung điểm của đoạn $AC$.

Vậy để tổng diện tích hai hình vuông đạt giá trị nhỏ nhất thì ta chia đoạn dây thép thành hai phần bằng nhau $AB=BC=4\mathrm{m}.$