Đề thi cuối kì 1 Toán 9 Cánh diều cấu trúc mới – Đề 4 (có đáp án)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng.                  b) Đúng.      c) Đúng.        d) Sai.

• Gọi giá niêm yết của quyển sách bồi dưỡng Toán và quyển sách bồi dưỡng Ngữ Văn lần lượt là $x,y$ (đồng). Điều kiện xác định $x>0,y>0.$

Do đó, ý a) là đúng.

• Vì một quyển sách bồi dưỡng Toán và một quyển sách bồi dưỡng Ngữ Văn với tổng số tiền theo giá niêm yết là $270000$ đồng nên ta có phương trình $x+y=270000$. Do đó, ý b) là đúng.

• Vì An mua vào lúc cửa hàng có chương trình giảm giá nên khi thanh toán quyển sách Toán được giảm giá $10\%$; quyển sách Ngữ Văn được giảm giá $20\%$ nên chỉ cần phải trả $228000$ đồng.

Do đó, ta có $\left(100\%-10\%\right)x+\left(100\%-20\%\right)y=228000$ hay $0,9x+0,8y=228000$.

Từ đây, ta có hệ phương trình $\{\begin{array}{l}x+y=270000\\ 0,9x+0,8y=228000\end{array}$.

Do đó, ý c) là đúng.

• Từ phương trình $x+y=270000$ suy ra $y=270000-x$.

Thay $y=270000-x$ vào $0,9x+0,8y=228000$ ta được

$0,9x+0,8\left(270000-x\right)=228000$

$0,9x+0,8\cdot 270000-0,8x=228000$

$0,1x=228000-0,8\cdot 270000$

$0,1x=12000$

$x=120000$

Thay $x=120000$ suy ra $y=270000-120000=150000$ (đồng).

Vậy giá niêm yết của quyển sách bồi dưỡng Toán là $120000$ đồng và quyển sách bồi dưỡng Ngữ Văn là $150000$ đồng.

Vậy ý d) là sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng.  b) Sai.              c) Sai.                  d) Đúng.

• Xét $$\Delta AKD$$ vuông tại $$D$$, ta có: $$\tan 36^{\circ }=\tan D=\frac{AK}{KD}$$O10-2024-GV154......... hay $$AK=AD\cdot \tan 36^{\circ }$$.

Do đó, ý a) là đúng.

• Ta có: $$FK=EH=CH-CE=25-5=20(\mathrm{m}).$$O10-2024-GV154.........

Do đó, ý b) là đúng.

• Từ $$\tan 36^{\circ }=\tan D=\frac{AK}{KD},$$ ta có $$AK=KD\cdot \tan 36^{\circ }=25\cdot \tan 36^{\circ }\approx 18,164(\mathrm{m}).$$

Ta có $$AH=AK+KH\approx 18,164+1,6=19,764\approx 20(\mathrm{m}).$$

Vậy độ dài tòa nhà chính là độ dài đoạn $$AH$$ và khoảng 20 m.

Do đó, ý c) là sai.

• Xét $$\Delta AFK$$ vuông tại $$K$$, ta có: $$\tan F=\frac{AK}{KF}\approx \frac{18,164}{20}$$O10-2024-GV154........., do đó $$\widehat{KFA}\approx 42^{\circ }.$$

Vậy góc nâng từ $$F$$ đến nóc tòa nhà khoảng $$42^{\circ }$$.

Vậy ý d) là đúng.

Hướng dẫn giải

a) Với $$a>0,a\ne 1$$, ta có:

$$T=\left(\frac{a\sqrt{a}-1}{a-\sqrt{a}}-\frac{a\sqrt{a}+1}{a+\sqrt{a}}\right):\frac{a+1}{a-1}$$

 $$=\left[\frac{a\sqrt{a}-1}{\left(\sqrt{a}-1\right)\sqrt{a}}-\frac{a\sqrt{a}+1}{\left(\sqrt{a}+1\right)\sqrt{a}}\right]\cdot \frac{a-1}{a+1}$$

 $$=\left[\frac{\left(a\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)\sqrt{a}}-\frac{\left(a\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)\sqrt{a}}\right]\cdot \frac{a-1}{a+1}$$

$$=\frac{\left(a\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)-\left(a\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)\sqrt{a}}\cdot \frac{a-1}{a+1}$$

$$=\frac{a^2+a\sqrt{a}-\sqrt{a}-1-a^2+a\sqrt{a}-\sqrt{a}+1}{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)\sqrt{a}}\cdot \frac{a-1}{a+1}$$

$$=\frac{2a\sqrt{a}-2\sqrt{a}}{\left(a+1\right)\sqrt{a}}$$

$$=\frac{2\left(a-1\right)}{a+1}$$.

Vậy với $$a>0,a\ne 1$$ ta được $$T=\frac{2\left(a-1\right)}{a+1}$$.

b) Ta có: $$T=\frac{2\left(a-1\right)}{a+1}=\frac{2a-2}{a+1}=\frac{2a+2-4}{a+1}=1-\frac{4}{a+1}$$.

Do đó, để $$T\in \mathbb{Z}$$ thì $$\frac{4}{a+1}$$ là số nguyên.

Suy ra $$a+1$$ là Ư(4).

Vì điều kiện $$a>0,a\ne 1$$ nên ta có $$a+1=4$$ suy ra $$a=3.$$

Vậy $$a=3$$ là giá trị cần tìm.

a) Ta có: $AB,AC$ là hai tiếp tuyến của đường tròn $\left(O\right)$, suy ra $OA$ là đường phân giác của $\widehat{BOC}$ (tính chất) nên $\widehat{AOC}=\frac{1}{2}\widehat{BOC}.$

Xét đường tròn $\left(O\right)$, ta có: $\widehat{CDB}=\frac{1}{2}\widehat{BOC}$ (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung $BC$)

Do đó, $\widehat{AOC}=\widehat{CDB}$.

Xét $\Delta CMD$ và $\Delta ACO$ có:

$\widehat{CMD}=\widehat{ACO}=90^{\circ }$ và $\widehat{CDM}=\widehat{AOC}$ (do $\widehat{AOC}=\widehat{CDB}$)

Do đó (g.g).

b) Xét đường tròn $\left(O\right)$, ta có: $\widehat{EBF}=90^{\circ }$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Ta có $\widehat{ABO}=\widehat{EBF}=90^{\circ }$ nên $\widehat{ABE}+\widehat{EBO}=\widehat{EBO}+\widehat{OBF}$

Suy ra $\widehat{ABE}=\widehat{OBF}$.

Lại có: $\widehat{OBF}=\widehat{OFB}$ (vì $\Delta BOF$ cân tại $O$ do $OB=OF)$ suy ra $\widehat{ABE}=\widehat{OFB}$ (1)

Mà $\widehat{ECB}=\widehat{OFB}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $EC$ của đường tròn tâm $O$) (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{ECB}=\widehat{ABE}$. (3)

Mặt khác, $AB=AC$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) và $OB=OC=R$

Suy ra $OA$ là đường trung trực của $BC$ mà $E\in OA$, suy ra $EB=EC$.

Do đó $\Delta EBC$ cân tại $E$ nên $\widehat{ECB}=\widehat{EBC}$. (4)

Từ (3) và (4) suy ra $\widehat{EBC}=\widehat{ABE}$ nên $BE$ là tia phân giác của góc $B$ trong tam giác $ABH$.

Vậy $$BE$$ là phân giác của $\widehat{ABC}.$

c) Theo câu a, (g.g), suy ra $\widehat{OAC}=\widehat{DCM}=30^{\circ }$.

Suy ra $\widehat{AOC}=90^{\circ }-\widehat{OAC}=90^{\circ }-30^{\circ }=60^{\circ }$.

Do đó, $\widehat{BOC}=2\widehat{AOC}=120^{\circ }$ hay

Xét $\Delta AHC$ vuông tại $H$, có: $\cos \widehat{HAC}=\frac{AH}{AC}$

Suy ra $AC=\frac{AH}{\cos \widehat{HAC}}=\frac{4}{\cos 30^{\circ }}=\frac{8\sqrt{3}}{3}\left(\mathrm{cm}\right).$

Xét $\Delta AOC$ vuông tại $C$, có: $OC=AC.\tan \widehat{OAC}=\frac{8\sqrt{3}}{3}.\tan 30^{\circ }=\frac{8}{3}\left(\mathrm{cm}\right).$

Diện tích hình quạt giới hạn bởi các bán kính $$OB,OC$$ và cung nhỏ $BC$ là:

$$S=\frac{\pi .{\left(\frac{8}{3}\right)}^2\cdot 120}{360}=\frac{64\pi }{27}\left(\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2\right)$$.

Hướng dẫn giải

Diện tích tấm bìa hình chữ nhật này là: $50.30=1500\left(\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2\right)$

Chiều dài sau khi cắt tấm bìa là: $50-2x\left(\mathrm{cm}\right)$.

Chiều rộng sau khi cắt tấm bìa là: $30-2x\left(\mathrm{cm}\right)$.

Diện tích xung quanh của hộp là: $2x\left(50-2x+30-2x\right)=2x\left(80-4x\right)=-8x^2+160x\left(\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2\right)$.

Để diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật sau khi cắt là lớn nhất thì $-8x^2+160x$ đạt giá trị lớn nhất.

Ta có: $-8x^2+160x=-8\left(x^2-20x+100\right)+800=-8{\left(x-10\right)}^2+800$

Với mọi $x>0,$ ta có: $-8{\left(x-10\right)}^2\le 0$ nên $-8{\left(x-10\right)}^2+800\le 800$.

Dấu “=” xảy ra khi $x-10=0$ hay $x=10$.

Vậy diện tích xung quanh hình hộp chữ nhật là $800\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$ khi $x=10\mathrm{cm}$.