Đề thi cuối kì 1 Toán 9 Cánh diều cấu trúc mới – Đề 5 (có đáp án)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng.  b) Sai.          c) Sai.              d) Sai.

Gọi $x$ là vận tốc của xe tải, $y$ là vận tốc của xe khách ($y>x>0$, km/h).

• Theo đề, mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải là $15$ km nên $y-x=15.$

Do đó, ý a) là đúng.

• Thời gian xe khách đã đi là: 1 giờ 40 phút + 40 phút = 2 giờ 20 phút = $\frac{7}{3}$ giờ.

Khi hai xe gặp nhau, xe khách đi được quãng đường là: $\frac{7}{3}y$ (km) và xe tải đi được quãng đường là $\frac{2}{3}x$ (km).

Theo bài, quãng đường Thành phố Hồ Chí Minh – Cần Thơ dài 170 km nên ta có phương trình: $\frac{2}{3}x+\frac{7}{3}y=170$.

Do đó, ý b) là sai.

• Từ đó, ta có hệ phương trình biểu diễn bài toán là: $\{\begin{array}{l}y-x=15\\ \frac{2}{3}x+\frac{7}{3}y=170\end{array}$.

Do đó, ý c) là sai.

• Thế $y=15+x$, thế vào phương trình $\frac{2}{3}x+\frac{7}{3}y=170$, ta được:

$\frac{2}{3}x+\frac{7}{3}\left(15+x\right)=170$

$\frac{2}{3}x+35+\frac{7}{3}x=170$

$3x=135$

$x=45$ (thỏa mãn).

Thay $x=45$ vào phương trình (1), ta được: $y=15+45=60$ (thỏa mãn).

Vậy vận tốc của xe tải là $45$km/h, vận tốc của xe khách là $60$ km/h.

Vậy ý d) là sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Sai.         b) Sai.              c) Đúng.        d) Đúng.

• Từ hình vẽ, ta xét tam giác vuông $ABC$, có:

$AC=AB.\tan \widehat{CBA}=48.\tan 80^{\circ }\approx 272,22\left(\mathrm{m}\right).$

Do đó, ý a) là sai.

• Do người đó có tầm mắt $$1,65\mathrm{m}$$ nên chiều cao của tòa nhà là:

$$272,22-1,65=270,57\left(\mathrm{m}\right)$$.

Vậy tòa nhà cao $$270,57\mathrm{m}$$.

Do đó, ý b) là sai.

• Khoảng cách từ xe thu gom phế thải ở $$E$$ đến chân tòa nhà là độ dài đoạn $$EA$$.

Xét tam giác vuông $$EAD$$, ta có:

$$EA=\frac{AD}{\tan \widehat{DEA}}=\frac{200}{\tan 65^{\circ }}\approx 93,26\left(\mathrm{m}\right).$$

Do đó, ý c) là đúng.

• Khoảng cách của hai xe thu gom phế thải là $$93,26-48=45,26\left(\mathrm{m}\right).$$

Vậy hai xe thu gom phế thải cách nhau $$45,26\mathrm{m}$$.

Vậy ý d) là đúng.

Hướng dẫn giải

a) Với $a\ge 0,a\ne 16$, ta có:

$C=\frac{a}{a-16}-\frac{2}{\sqrt{a}-4}-\frac{2}{\sqrt{a}+4}$

   $$=\frac{a}{\left(\sqrt{a}-4\right)\left(\sqrt{a}+4\right)}-\frac{2\left(\sqrt{a}+4\right)}{\left(\sqrt{a}-4\right)\left(\sqrt{a}+4\right)}-\frac{2\left(\sqrt{a}-4\right)}{\left(\sqrt{a}+4\right)\left(\sqrt{a}-4\right)}$$

$$=\frac{a-2\sqrt{a}-8-2\sqrt{a}+8}{\left(\sqrt{a}-4\right)\left(\sqrt{a}+4\right)}$$

$$=\frac{a-4\sqrt{a}}{\left(\sqrt{a}-4\right)\left(\sqrt{a}+4\right)}$$

$$=\frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-4\right)}{\left(\sqrt{a}-4\right)\left(\sqrt{a}+4\right)}$$

$$=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+4}.$$

Vậy với $a\ge 0,a\ne 16$ có $$C=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+4}.$$

b) Ta có: $a=9-4\sqrt{5}=5-2\cdot 2\cdot \sqrt{5}+4={\left(\sqrt{5}-2\right)}^2$.

Thay vào $$C,$$ ta được:

$$C=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+4}=\frac{\sqrt{{\left(\sqrt{5}-2\right)}^2}}{\sqrt{{\left(\sqrt{5}-2\right)}^2}+4}=\frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}+2}=\frac{{\left(\sqrt{5}-2\right)}^2}{\left(\sqrt{5}+2\right)\left(\sqrt{5}-2\right)}=\frac{9-4\sqrt{5}}{5-4}=9-4\sqrt{5}$$.

Vậy giá trị của $C=9-4\sqrt{5}$ tại $a=9-4\sqrt{5}.$

Coi các sân đó là hình vuông $$ABCD$$, phần lát gạch đỏ trang trí là hình vuông $$MNPQ$$.

Ta chứng minh được $$\Delta AMQ=\Delta BNM=\Delta CPN=\Delta DQP$$ (c.c.c)

Diện tích hình vuông $$MNPQ$$ có diện tích nhỏ nhất khi tổng diện tích bốn tam giác vuông ở bốn góc hình vuông $$ABCD$$ là lớn nhất.

Gọi $$S=S_{AMQ}+S_{BNM}+S_{CPN}+S_{DQP}=4S_{AMQ}=4\cdot \frac{1}{2}AM\cdot AQ=2\cdot AM\cdot AQ$$

Mà $$AM+AQ=AM+MB=16\left(\mathrm{m}\right)$$.

Lại có $${\left(AM-MB\right)}^2\ge 0$$

Suy ra $$A{M}^2+M{B}^2\ge 2MA\cdot MB$$

Do đó, $$A{M}^2+2MA\cdot MB+M{B}^2\ge 4MA\cdot MB$$

             $${\left(MA+MB\right)}^2\ge 4MA\cdot MB$$

Suy ra $$2MA\cdot MB\le \frac{{\left(MA+MB\right)}^2}{2}=\frac{{16}^2}{2}=128$$ hay $$S\le 128$$.

Dấu “=” xảy ra khi $$MA=MB=\frac{AB}{2}=8\left(\mathrm{m}\right)$$.

Khi đó, $$M,N,P,Q$$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $$AB,BC,CD,DA.$$

Vậy khi $$M,N,P,Q$$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $$AB,BC,CD,DA$$ thì diện tích hình vuông $$MNPQ$$ nhỏ nhất.