Đề thi cuối kì 1 Toán 9 Cánh diều (Tự luận) – Đề 2 (có đáp án)

a) ⦁ Xét biểu thức $A=\frac{1}{3}-\frac{1}{\sqrt{x}}$.

Điều kiện xác định của biểu thức $A$ là $x\ge 0$ và $\sqrt{x}\ne 0$, tức là $x>0.$

⦁ Xét biểu thức $B=\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-3}-\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+3}$.

Điều kiện xác định của biểu thức $B$ là $x\ge 0,\sqrt{x}-3\ne 0$ và $\sqrt{x}+3\ne 0.$

Với $x\ge 0$ ta thấy $\sqrt{x}+3>0$ và $\sqrt{x}-3\ne 0$ khi $x\ne 9.$

Vậy điều kiện xác định của biểu thức $A$ là $x>0$ và điều kiện xác định của biểu thức $B$ là $x\ge 0$, $x\ne 9.$

b) Thay $x=\frac{1}{9}$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $A$, ta được:

$A=\frac{1}{3}-\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{9}}}=\frac{1}{3}-\frac{1}{\frac{1}{3}}=\frac{1}{3}-3=-\frac{8}{3}.$

Vậy giá trị biểu thức $A=-\frac{8}{3}$ tại $x=\frac{1}{9}.$

c) Với $x\ge 0;x\ne 9$, ta có:

$B=\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-3}-\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+3}$

      $=\frac{{\left(\sqrt{x}+3\right)}^2-{\left(\sqrt{x}-3\right)}^2}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}$

     $=\frac{x+6\sqrt{x}+9-\left(x-6\sqrt{x}+9\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}$

     $=\frac{x+6\sqrt{x}+9-x+6\sqrt{x}-9}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}$

    $=\frac{12\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}=\frac{12\sqrt{x}}{x-9}.$

Vậy với $x\ge 0;x\ne 9$ thì $B=\frac{12\sqrt{x}}{x-9}.$

d) Với $x>0;x\ne 9$, ta có:

$P=A\cdot B=\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\cdot \frac{12\sqrt{x}}{x-9}$ $=\frac{\sqrt{x}-3}{3\sqrt{x}}.\frac{12\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}$$=\frac{4}{\sqrt{x}+3}$.

Với $x>0;x\ne 9$, ta có $\sqrt{x}>0$ nên $\sqrt{x}+3>3$, suy ra $\frac{4}{\sqrt{x}+3}<\frac{4}{3}$.

Ta cũng có: $\sqrt{x}+3>3>0$ nên $\frac{4}{\sqrt{x}+3}>0$.

Do đó $0<P<\frac{4}{3}.$

Như vậy, để $P$ nguyên thì $P=1$.

Khi đó, ta có: $\frac{4}{\sqrt{x}+3}=1,$ suy ra $\sqrt{x}+3=4$ nên $\sqrt{x}=1,$ suy ra $x=1$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy với $x=1$ thì $P$ nhận giá trị nguyên.

a) Điều kiện xác định $x\ne \frac{1}{3},x\ne -\frac{1}{3}.$

Ta có: $\frac{1-3x}{1+3x}-\frac{1+3x}{1-3x}=\frac{4}{1-9x^2}$

$\frac{{\left(1-3x\right)}^2}{\left(1+3x\right)\left(1-3x\right)}-\frac{{\left(1+3x\right)}^2}{\left(1+3x\right)\left(1-3x\right)}=\frac{4}{\left(1+3x\right)\left(1-3x\right)}$

$\frac{{\left(1-3x\right)}^2-{\left(1+3x\right)}^2}{\left(1+3x\right)\left(1-3x\right)}=\frac{4}{\left(1+3x\right)\left(1-3x\right)}$

${\left(1-3x\right)}^2-{\left(1+3x\right)}^2=4$

$\left(1-3x-1-3x\right)\left(1-3x+1+3x\right)=4$

$-6x\cdot 2=4$

$-12x=4$

      $x=-\frac{1}{3}$ (loại).

Vậy phương trình vô nghiệm.

b) $\frac{2x-1}{2}-\frac{x+1}{6}\ge \frac{4x-5}{3}$

$\frac{6\left(2x-1\right)}{12}-\frac{2\left(x+1\right)}{12}\ge \frac{4\left(4x-5\right)}{12}$

$6\left(2x-1\right)-2\left(x+1\right)\ge 4\left(4x-5\right)$

$12x-6-2x-1\ge 16x-20$

$10x-7\ge 16x-20$

$10x-16x\ge -20+7$

$-6x\ge -13$

    $x\le \frac{13}{6}.$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x\le \frac{13}{6}.$

c) $\sqrt{9x^2-6x+1}=2$ $\sqrt{{\left(3x-1\right)}^2}=2$ $\left|3x-1\right|=2$
Trường hợp 1. $3x-1=2$  $3x=3$  $x=1$.	Trường hợp 2: $3x-1=-2$  $3x=-1$  $x=-\frac{1}{3}.$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=1;x=-\frac{1}{3}.$

2. Gọi $x,y$ (đồng) lần lượt là giá niêm yết của một thùng nước ngọt và một túi bánh sandwich $\left(x>0,y>0\right)$.

Theo bài, cô Linh đi siêu thị mua 1 thùng nước ngọt và 4 túi bánh mì sandwich với giá niêm yết tổng cộng là 340 000 đồng nên ta có phương trình: $x+4y=340000$ (1)

Giá mỗi thùng nước ngọt sau khi tăng $5\%$ so với giá niêm yết là: $x+5\%x=1,05x$ (đồng).

Giá mỗi túi bánh mì sandwich được giảm $15\%$ so với giá niêm yết là:

$x-15\%x=0,85x$ (đồng).

Theo bài, khi thanh toán cô Linh chỉ cần trả tổng cộng $325000$ đồng nên ta có phương trình:

$1,05x+4\cdot 0,85y=325000$ hay $1,05x+3,4y=325000$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}x+4y=340000\left(3\right)\\ 1,05x+3,4y=325000\end{array}$

Nhân cả hai vế của phương trình (1) với $1,05,$ ta được hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}1,05x+4,2y=357000\\ 1,05x+3,4y=325000\end{array}$

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:

$0,8y=32000$ nên $y=40000$ (thỏa mãn).

Thay $y=40000$ vào phương trình (1), ta được:

$x+4\cdot 40000=340000$ nên $x=180000$ (thỏa mãn).

Vậy một thùng nước ngọt và một túi bánh mì sandwich có giá niêm yết lần lượt là $180000$ đồng và $40000$ đồng.

3. a) Gọi số tiền bà Mai cần gửi tiết kiệm ít nhất là $x$ (triệu đồng) $\left(x>0\right).$

Số tiền lãi bà Mai nhận được sau 1 năm là $4,7\%x$ (triệu đồng).

Vì số tiền lãi hàng năm ít nhất là $18800000$ đồng $(=18,8$ triệu đồng) nên ta có bất phương trình:

$4,7\%x\ge 18,8$.

b) Giải bất phương trình:

          $4,7\%x\ge 18,8$

          $0,047x\ge 18,8$

          $x\ge 400$

Vậy bà Mai cần gửi tiết kiệm ít nhất là $400$ triệu đồng.

Hướng dẫn giải

Giả sử hình ảnh chiếc tàu trong bài toán được mô tả bởi hình vẽ sau:

250mthì tàu ở độ sâu bao nhiêu so với mặt nước (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)? (ảnh 1)">

a) Xét tam giác $ABC$ vuông tại $C$ ta có:

$CB=AB.\sin A=250.\sin 21^{\circ }\approx 89,6\left(\mathrm{m}\right).$

Vậy tàu đi được $250\mathrm{m}$thì tàu ở độ sâu khoảng $89,6\mathrm{m}.$

b) Đổi $9$ km/h $=2,5$ m/s.

Gọi $t$ (s) là thời gian để tàu đi được độ sâu $200\mathrm{m}.$

Quãng đường tàu đi được trong thời gian $t$ là: $AB=S_{AB}=2,5t\left(\mathrm{m}\right).$

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $C$, ta có: $\sin A=\frac{BC}{AB}$.

Suy ra $AB=\frac{CB}{\sin A}$ hay $2,5t=\frac{200}{\sin 21^{\circ }}$, suy ra $t=\frac{200}{2,5.\sin 21^{\circ }}\approx 223,23\left(\mathrm{s}\right)$.

Đổi $223,23\mathrm{s}\approx 3$ phút $43$ giây.

Vậy sau khoảng $3$ phút $43$ giây thì tàu ở độ sâu $200\mathrm{m}.$

a) Vì $AB$ và $AC$ là tiếp tuyến của đường tròn tâm $O$ nên $AB\perp OB$, $AC\perp OC$, do đó $\widehat{ABO}=\widehat{ACO}=90^{\circ }$. Gọi $K$ là trung điểm của $AO$.

Xét $\Delta ABO$ vuông tại $B$ có $BK$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $AO$ nên $BK=AK=KO=\frac{AO}{2}$ (1).

Xét $\Delta ACO$ vuông tại $C$ có $CK$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $AO$ nên $CK=AK=KO=\frac{AO}{2}$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra $BK=CK=AK=KO=\frac{AO}{2}$.

Vậy các điểm $$A,B,O,C$$ cùng thuộc một đường tròn tâm $K$ đường kính $AO$.

b) ⦁ Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau tại $A$ của đường tròn $\left(O\right)$ ta có: $AB=AC$ suy ra $A$ thuộc đường trung trực của $BC$ (3).

Lại có $OB=OC=R$ suy ra $O$ thuộc đường trung trực của $BC$ (4).

Từ (3) và (4) suy ra $AO$ là đường trung trực của $BC$ hay $OA$ vuông góc với $BC$ tại $H$.

⦁ Xét đường tròn $\left(O\right)$ đường kính $BD$ có $\widehat{BCD}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên $\widehat{BCD}=90^{\circ }.$

Ta có: $\widehat{BAH}+\widehat{ABH}=90^{\circ }$ (tổng hai góc nhọn của tam giác $\Delta ABH$ vuông tại $H)$ và $\widehat{DBC}+\widehat{ABH}=90^{\circ }$

Suy ra $\widehat{BAH}=\widehat{DBC}$.

Xét $\Delta DBC$ và $\Delta BAH$ có: $\widehat{BCD}=\widehat{AHB}=90^{\circ }$ và $\widehat{DBC}=\widehat{BAH}$

Vì  $\Delta DBC\backsim \Delta BAH$ (câu b) nên $$\frac{BC}{AH}=\frac{DC}{BH}$$

Hướng dẫn giải

Theo đề bài, tỉ số giữa chiều cao $h$ và chiều rộng đáy $y$ bằng $4$ nên $h=4y$.

Thể tích chiếc hộp $3\mathrm{d}{\mathrm{m}}^3$ nên $xyh=3\left(\mathrm{d}{\mathrm{m}}^3\right)$ hay $4x{y}^2=3$, suy ra $x=\frac{3}{4y^2}$.

Do chiếc hộp không nắp, do đó diện tích bìa cần dùng là tổng diện tích đáy hộp và diện tích xung quanh của hộp.

Ta có: $S=xy+2h\left(x+y\right)=\frac{3}{4y^2}\cdot y+2\cdot 4y\cdot \left(\frac{3}{4y^2}+y\right)$

              $=\frac{3}{4y}+\frac{6}{y}+8y^2=\frac{27}{4y}+8y^2=\frac{27}{8y}+\frac{27}{8y}+8y^2$.

Do $y$ là chiều rộng của hộp nên $y>0$.

Do đó, áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm, ta được:

$\frac{27}{8y}+\frac{27}{8y}+8y^2\ge 3\cdot \sqrt[3]{\frac{27}{8y}\cdot \frac{27}{8y}\cdot 8y^2}$, suy ra $S\ge \frac{27}{2}.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\frac{27}{8y}=8y^2$, hay $y^3=\frac{27}{64}$ nên $y=\frac{3}{4}$ (dm).

Do đó, $x=\frac{3}{4y^2}=\frac{3}{4\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^2}=\frac{4}{3}\left(\mathrm{dm}\right)$.

Vậy lượng bìa cần dùng ít nhất có diện tích là $\frac{27}{2}\left(\mathrm{d}{\mathrm{m}}^2\right)$ khi chiều dài $x=\frac{4}{3}$ dm.