Đề thi cuối kì 1 Toán 9 Cánh diều (Tự luận) – Đề 3 (có đáp án)

Hướng dẫn giải

a) ⦁ Xét biểu thức $$A=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}.$$

Điều kiện xác định của biểu thức $A$ và $x\ge 0,\sqrt{x}-3\ne 0,$ tức là $x\ge 0$ và $x\ne 9$.

⦁ Xét biểu thức $$B=\left(\frac{1}{\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}}{x-1}\right).\frac{x-\sqrt{x}}{2\sqrt{x}+1}$$.

Điều kiện xác định của biểu thức $B$ là $x\ge 0,\sqrt{x}-1\ne 0,x-1\ne 0,2\sqrt{x}+1\ne 0.$

Với $x\ge 0$, ta có: $\sqrt{x}-1\ne 0$ khi $x\ne 1;$

$x-1\ne 0$ khi $x\ne 1;$

$2\sqrt{x}+1>0$.

Do đó, điều kiện xác định của biểu thức $B$ là $x\ge 0$ và $x\ne 1.$

b) Thay $x=\frac{1}{16}$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $A$, ta có:

$A=\frac{\sqrt{\frac{1}{16}}+1}{\sqrt{\frac{1}{16}}-3}=\frac{\frac{1}{4}+1}{\frac{1}{4}-3}=\frac{\frac{5}{4}}{-\frac{11}{4}}=-\frac{5}{11}.$

Vậy $A=-\frac{5}{11}$ khi $x=\frac{1}{16}$.

c) Với $x\ge 0;x\ne 1$, ta có:

$B=\left(\frac{1}{\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}}{x-1}\right)\cdot \frac{x-\sqrt{x}}{2\sqrt{x}+1}$

   $=\left[\frac{\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}+\frac{\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\right]\cdot \frac{x-\sqrt{x}}{2\sqrt{x}+1}$

$=\frac{2\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\cdot \frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}{2\sqrt{x}+1}$ $=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}.$

Vậy với $x\ge 0;x\ne 1$ thì $B=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}$.

d) Với $$x\ge 0;x\ne 9;x\ne 1,$$ ta có: $A.B=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}.\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}$.

Khi đó, để $A.B<1$ thì $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}<1$.

Giải bất phương trình: $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}<1$

$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}-1<0$

$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}-\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-3}<0$

$\frac{3}{\sqrt{x}-3}<0$.

Do $3>0$ nên để $\frac{3}{\sqrt{x}-3}<0$ thì $\sqrt{x}-3<0$ hay $\sqrt{x}<3$. Suy ra $x<9$.

Kết hợp với điều kiện $x\ge 0;x\ne 9;x\ne 1$ nên $0\le x<9;x\ne 1$.

Mà $x$ là số nguyên tố nên ta được $x\in \left\{2;3;5;7\right\}.$

Vậy các giá trị nguyên tố thỏa mãn $A.B<1$ là $x\in \left\{2;3;5;7\right\}.$

a) Điều kiện xác định $x\ne -1,x\ne 3$.

Ta có: $\frac{x}{2\left(x-3\right)}+\frac{x}{2x+2}=\frac{2x}{\left(x+1\right)\left(x-3\right)}$

$\frac{x\left(x+1\right)}{2\left(x+1\right)\left(x-3\right)}+\frac{x\left(x-3\right)}{2\left(x+1\right)\left(x-3\right)}=\frac{2x\cdot 2}{2\left(x+1\right)\left(x-3\right)}$

$x\left(x+1\right)+x\left(x-3\right)=2x\cdot 2$

$x^2+x+x^2-3x-4x=0$

$2x^2-6x=0$

$2x\left(x-3\right)=0$

$x=0$ hoặc $x-3=0$.

$x=0$ (thỏa mãn) hoặc $x=3$ (loại).

Vậy phương trình có nghiệm là $x=0$.

b) $$\frac{x+2}{3}-1\ge 2x+\frac{x}{2}$$

$$\frac{x+2}{3}-\frac{3}{3}\ge \frac{4x}{2}+\frac{x}{2}$$

$$\frac{x+2-3}{3}\ge \frac{4x+x}{2}$$

$$\frac{x-1}{3}\ge \frac{5x}{2}$$

$$2\left(x-1\right)\ge 3\cdot 5x$$

$$2x-2\ge 15x$$

$$2x-15x\ge 2$$

$$-13x\ge 2$$

$$x\le \frac{-2}{13}$$.

Vậy bất phương trình có nghiệm là $$x\le \frac{-2}{13}$$.

c) $\frac{3}{2}\sqrt{4x-8}-9\sqrt{\frac{x-2}{81}}=6$    (đkxđ: $x\ge 2).$

$$\frac{3}{2}\sqrt{4\left(x-2\right)}-9\sqrt{\frac{1}{81}\left(x-2\right)}=6$$

$$\frac{3}{2}\cdot 2\sqrt{x-2}-9\cdot \frac{1}{9}\sqrt{x-2}=6$$

$$3\sqrt{x-2}-\sqrt{x-2}=6$$

$$2\sqrt{x-2}=6$$

$$\sqrt{x-2}=3$$

    $$x-2=9$$

    $$x=11$$ (thỏa mãn).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x=11.$

2. Gọi $x,y$ (kg/m³) lần lượt là khối lượng riêng của chất lỏng loại I và chất lỏng loại II $\left(x,y>0\right).$

Theo đề, khối lượng riêng của chất lỏng loại I lớn hơn khối lượng riêng của chất lỏng loại II là $200kg/{\mathrm{m}}^3$ nên ta có phương trình: $x-y=200$ (1).

Thể tích của 4 kg chất lỏng loại I là: $\frac{4}{x}$ (m³). Thể tích của 3 kg chất lỏng loại II là: $\frac{3}{y}$ (m³).

Khi đó, tổng thể tích hai loại chất lỏng là: $$\frac{4}{x}+\frac{3}{y}$$ (m³).

Người ta trộn $4\mathrm{kg}$ chất lỏng loại I với $3kg$ chất lỏng loại II, do đó khối lượng hỗn hợp là: $3+4=7\left(\mathrm{kg}\right)$.

Thể tích của hỗn hợp sau khi pha là: $\frac{7}{700}=\frac{1}{100}$ (m³).

Khi đó, ta có phương trình: $$\frac{4}{x}+\frac{3}{y}=\frac{1}{100}$$   (2)

Từ (1) và (2), suy ra hệ phương trình $\{\begin{array}{l}x-y=200\\ \frac{4}{x}+\frac{3}{y}=\frac{1}{100}\end{array}$

Từ (1) ta có: $x=200+y$, thế vào phương trình (2), ta được: $\frac{4}{200+y}+\frac{3}{y}=\frac{1}{100}$.

Giải phương trình:

$\frac{4}{200+y}+\frac{3}{y}=\frac{1}{100}$

$\frac{400y}{100\left(200+y\right)y}+\frac{300\left(200+y\right)}{100y\left(200+y\right)}=\frac{y\left(200+y\right)}{100y\left(200+y\right)}$

$400y+300\left(200+y\right)=y\left(200+y\right)$

$400y+60000+300y=200y+y^2$

$y^2-500y-60000=0$

$y^2+100y-600y-60000=0$

$y\left(y+100\right)-600\left(y+100\right)=0$

$\left(y+100\right)\left(y-600\right)=0$

Suy ra $y-600=0$ (do $y+100>0$ với mọi $y>0)$

Do đó $y=600$ (thỏa mãn).

Thay $y=600$ vào phương trình $x=200+y$, ta được $x=800$ (thỏa mãn).

Vậy khối lượng riêng của chất lỏng loại I và loại II lần lượt là $800kg/{\mathrm{m}}^3$ và $600kg/{\mathrm{m}}^3.$

3. a) Đổi $5,25$ tấn = $5250$ kg.

Gọi $x$ là số thùng bia mà xe có thể chở ($x\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, đơn vị: thùng).

Khối lượng của $x$ thùng bia là: $6,7x$ (kg).

Tổng khối lượng của các thùng bia và bác tài xế là: $6,7x+65$ (kg).

Theo bài, trọng tải của xe (tức là tổng khối lượng tối đa cho phép mà xe có thể chở) là $5,25$ tấn nên ta có bất phương trình: $65+6,7x\le 5250$.

b) Giải bất phương trình:

$65+6,7x\le 5250$

$6,7x\le 5185$

$x\le \frac{51850}{67}\left(\approx 773,88\right)$.

Mà $x\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ và cần tìm $x$ có giá trị lớn nhất nên $x=773.$

Vậy xe có thể chở được tối đa $773$ thùng bia.

1. Ta có: $$Ax//BC$$ suy ra $$\widehat{ACB}=\widehat{xAC}=35^{\circ }$$ (so le trong).

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $B,$ ta có:

$$\sin 35^{\circ }=\sin \widehat{ACB}=\frac{AB}{AC};$$ $$\tan 35^{\circ }=\tan \widehat{ACB}=\frac{AB}{BC}.$$

2. Ta có $$AB=1,6+25=26,6\mathrm{m}.$$

Theo câu a, ta có:

⦁ $$\tan 35^{\circ }=\tan \widehat{ACB}=\frac{AB}{BC}$$ nên $$BC=\frac{AB}{\tan 35^{\circ }}=\frac{26,6}{\tan 35^{\circ }}\approx 38(\mathrm{m}).$$

⦁ $$\sin 35^{\circ }=\sin \widehat{ACB}=\frac{AB}{AC}$$ nên $$AC=\frac{AB}{\sin 35^{\circ }}=\frac{26,6}{\sin 35^{\circ }}\approx 46(\mathrm{m}).$$

Vậy chiếc xe cách tòa nhà khoảng $$38\mathrm{m}$$ và cách mắt người quan sát khoảng $46\mathrm{m}.$

a) Ta có: $$\widehat{AMB}=90^{\circ }$$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). Suy ra $$\widehat{AMC}=90^{\circ }$$ (cùng bù với $$\widehat{AMB}$$).

Gọi $$E$$ là trung điểm của $$CA$$.

Xét $$\Delta AMC$$ vuông tại $$M$$ có $$ME$$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $$CA$$ nên $$ME=\frac{1}{2}CA.$$

Xét $$\Delta AKC$$ vuông tại $$K$$ có $$KE$$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $$CA$$ nên $$KE=\frac{1}{2}CA.$$

Do đó, $$KE=ME=EC=EA=\frac{1}{2}CA$$ nên bốn điểm $$A,M,C,K$$ cùng thuộc một đường tròn tâm $$E$$ đường kính $$CA$$.

b) ⦁ Xét $\Delta OMN$ cân tại $O$ (do $OM=ON)$ nên đường cao $OH$ đồng thời là đường trung tuyến, hay $H$ là trung điểm của $MN$.

Xét $$\Delta MNB$$ có $$BH$$ là đường cao và cũng là đường trung tuyến của $$\Delta MNB$$ nên $$\Delta MNB$$ cân tại $$B$$.

Suy ra $$BH$$ cũng là đường phân giác của $$\widehat{MBN}$$.

Hay $$BK$$ là đường phân giác của $$\widehat{CBD}$$.

⦁ Xét $$\Delta BCD$$ có $$BK$$ vừa là đường cao, vừa là đường phân giác của $$\Delta BCD$$ nên $$\Delta BCD$$ cân tại $$B$$

Do đó $$\widehat{BCD}=\widehat{BDC}$$. (1)

Ta có: $$\widehat{CDB}=\widehat{KAC}$$ (cùng phụ với $$\widehat{DCA}$$) (2)

Xét đường tròn $$\left(E\right)$$ có $$\widehat{KAC}=\widehat{KMC}$$ (góc nội tiếp cùng chắn cung $$KC$$) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $$\widehat{BCD}=\widehat{KMC}=\widehat{BDC}=\widehat{KAC}$$

Xét $$\Delta KMC$$ có $$\widehat{KCM}=\widehat{KMC}$$ nên $$\Delta KMC$$ cân tại $$K$$.

c) Xét $$\Delta BOM$$ cân tại $$O$$ (do $$OM=OB$$) ta có $$\widehat{OMB}=\widehat{OBM}$$.

Mà $$\widehat{OBM}=\widehat{OBD}$$ (do $$BK$$ là đường phân giác của $$\widehat{CBD}$$).

Suy ra $$\widehat{OMB}=\widehat{OBD}.$$

Xét $\Delta BDK$ vuông tại $K,$ ta có: $$\widehat{OBD}+\widehat{BDK}=90^{\circ }$$

Mà $$\widehat{OMB}=\widehat{OBD}$$ và $$\widehat{BDK}=\widehat{KMC}$$ nên $$\widehat{OMB}+\widehat{KMC}=90^{\circ }$$

Do đó, $$\widehat{KMO}=180^{\circ }-\left(\widehat{OMB}+\widehat{KMC}\right)=180^{\circ }-90^{\circ }=90^{\circ }$$.

Suy ra $$KM\perp MO$$ tại $$M$$ thuộc đường tròn $$\left(O\right)$$.

Vậy $$KM$$ là tiếp tuyến của đường tròn $$\left(O\right)$$.

Hướng dẫn giải

Chiều dài của đáy bể là $2x(\mathrm{m}).$

Diện tích đáy của bể là $2x^2\left({\mathrm{m}}^2\right).$

Chiều cao của bể là: $\frac{72}{2x^2}=\frac{36}{x^2}\left(\mathrm{m}\right)$.

Diện tích xung quanh của bể là: $2\cdot \frac{36}{x^2}\cdot \left(x+2x\right)=\frac{72\cdot 3x}{x^2}=\frac{216}{x}\left({\mathrm{m}}^2\right).$

Diện tích cần xây bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy của bể, và bằng:

$\frac{216}{x}+2x^2\left({\mathrm{m}}^2\right).$

Do $x$ là chiều rộng của bể nên $x>0$, áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

$2x^2+\frac{216}{x}=2x^2+\frac{108}{x}+\frac{108}{x}\ge 3\sqrt[3]{2x^2\cdot \frac{108}{x}\cdot \frac{108}{x}}$

Suy ra $2x^2+\frac{216}{x}\ge 3\sqrt[3]{23328}\approx 85,72$

Dấu “=” xảy ra khi $2x^2=\frac{108}{x}=\frac{108}{x}$ hay $2x^3=108$, tức là $x=\sqrt[3]{54}\approx 3,78\mathrm{m}.$

Vậy muốn diện tích cần xây là tiết kiệm chi phí nhất thì $x\approx 3,78\mathrm{m}.$