Đề thi cuối kì 1 Toán 9 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới (có tự luận) – Đề 1 (có đáp án)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng.  b) Sai.              c) Sai.                  d) Đúng.

• Xét $$\Delta AKD$$ vuông tại $$D$$, ta có: $$\tan 36^{\circ }=\tan D=\frac{AK}{KD}$$O10-2024-GV154......... hay $$AK=AD\cdot \tan 36^{\circ }$$.

Do đó, ý a) là đúng.

• Ta có: $$FK=EH=CH-CE=25-5=20(\mathrm{m}).$$O10-2024-GV154.........

Do đó, ý b) là đúng.

• Từ $$\tan 36^{\circ }=\tan D=\frac{AK}{KD},$$ ta có $$AK=KD\cdot \tan 36^{\circ }=25\cdot \tan 36^{\circ }\approx 18,164(\mathrm{m}).$$

Ta có $$AH=AK+KH\approx 18,164+1,6=19,764\approx 20(\mathrm{m}).$$

Vậy độ dài tòa nhà chính là độ dài đoạn $$AH$$ và khoảng 20 m.

Do đó, ý c) là sai.

• Xét $$\Delta AFK$$ vuông tại $$K$$, ta có: $$\tan F=\frac{AK}{KF}\approx \frac{18,164}{20}$$O10-2024-GV154........., do đó $$\widehat{KFA}\approx 42^{\circ }.$$

Vậy góc nâng từ $$F$$ đến nóc tòa nhà khoảng $$42^{\circ }$$.

Vậy ý d) là đúng.

Hướng dẫn giải

a) Với $$a>0,a\ne 1$$, ta có:

$$T=\left(\frac{a\sqrt{a}-1}{a-\sqrt{a}}-\frac{a\sqrt{a}+1}{a+\sqrt{a}}\right):\frac{a+1}{a-1}$$

 $$=\left[\frac{a\sqrt{a}-1}{\left(\sqrt{a}-1\right)\sqrt{a}}-\frac{a\sqrt{a}+1}{\left(\sqrt{a}+1\right)\sqrt{a}}\right]\cdot \frac{a-1}{a+1}$$

 $$=\left[\frac{\left(a\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)\sqrt{a}}-\frac{\left(a\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)\sqrt{a}}\right]\cdot \frac{a-1}{a+1}$$

$$=\frac{\left(a\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)-\left(a\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)\sqrt{a}}\cdot \frac{a-1}{a+1}$$

$$=\frac{a^2+a\sqrt{a}-\sqrt{a}-1-a^2+a\sqrt{a}-\sqrt{a}+1}{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)\sqrt{a}}\cdot \frac{a-1}{a+1}$$

$$=\frac{2a\sqrt{a}-2\sqrt{a}}{\left(a+1\right)\sqrt{a}}$$

$$=\frac{2\left(a-1\right)}{a+1}$$.

Vậy với $$a>0,a\ne 1$$ ta được $$T=\frac{2\left(a-1\right)}{a+1}$$.

b) Ta có: $$T=\frac{2\left(a-1\right)}{a+1}=\frac{2a-2}{a+1}=\frac{2a+2-4}{a+1}=1-\frac{4}{a+1}$$.

Do đó, để $$T\in \mathbb{Z}$$ thì $$\frac{4}{a+1}$$ là số nguyên.

Suy ra $$a+1$$ là Ư(4).

Vì điều kiện $$a>0,a\ne 1$$ nên ta có $$a+1=4$$ suy ra $$a=3.$$

Vậy $$a=3$$ là giá trị cần tìm.

Hướng dẫn giải

Gọi các điểm như hình vẽ dưới đây:

Gọi $$x$$ là độ dài cạnh $AC$ hình chữ nhật không nằm dọc theo đường kính đường tròn $$\left(0<x<14\right)$$.

Khi đó, ta tính được độ dài cạnh của hình chữ nhật nằm dọc trên đường tròn là:

$$AB=2AO=2\sqrt{O{C}^2-A{C}^2}=2\sqrt{{14}^2-x^2}\left(\mathrm{m}\right)$$.

Diện tích hình chữ nhật là $$S=2x\sqrt{{14}^2-x^2}\left({\mathrm{m}}^2\right)$$.

Ta có: $$S^2=4x^2\left(196-x^2\right)=-4x^4+2\cdot 2x^2\cdot 196-196^2+196^2=-{\left(2x^2-196\right)}^2+196^2$$ .

Nhận thấy $$-{\left(2x^2-196\right)}^2\le 0$$, do đó $$-{\left(2x^2-196\right)}^2+196^2\le 196^2$$.

Suy ra $$S^2\le 196^2$$, nên $$S\le \sqrt{{196}^2}$$ hay $$S\le 196{\mathrm{m}}^2$$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $$-{\left(2x^2-196\right)}^2=0$$, hay $$2x^2-196=0$$, tức là $$x=7\sqrt{2}\left(\mathrm{m}\right)$$.

Vậy diện tích lớn nhất của khu vui chơi đó là $$196{\mathrm{m}}^2$$.