Đề thi cuối kì 1 Toán 9 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới (có tự luận) – Đề 4 (có đáp án)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng.  b) Đúng.          c) Sai.              d) Sai.

• Gọi $x$ là số câu trả lời đúng $\left(0\le x\le 12,x\in \mathbb{N}\right)$.

Số câu trả lời sai là $12-x$ (câu).

Do đó, ý a) là đúng.

• Số điểm nhận được khi trả lời đúng $x$ câu là: $5x$ (điểm).

Số điểm bị trừ khi trả lời sai $12-x$ (câu) là: $2\left(12-x\right)$ (điểm).

Tổng số điểm đạt được khi trả lời hết 12 câu hỏi là: $2+5x+2\left(12-x\right)$ (điểm).

Do đó, ý b) là đúng.

• Theo bài, thí sinh đạt từ 50 điểm trở lên sẽ được vào vòng tiếp theo nên ta có bất phương trình sau:

$20+5x-2\left(12-x\right)\ge 50$.

Do đó, ý c) là sai.

• Giải bất phương trình:

$20+5x-2\left(12-x\right)\ge 50$

$20+5x-24+2x\ge 50$

$7x-4\ge 50$

     $7x\ge 54$

      $x\ge \frac{54}{7}\left(\approx 7,714\right)$.

Mà $x\in \mathbb{N}$ và cần tìm giá trị $x$ nhỏ nhất nên $x=8.$

Vậy thí sinh muốn vào vòng tiếp theo cần trả lời đúng ít nhất 8 câu.

Do đó, ý d) là sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng.          c) Sai.            d) Sai.

Khoảng cách của cồn và bờ sông hai người đứng chính là độ dài đoạn thẳng $CH.$

• Xét tam giác $AHC$ vuông tại $H$, ta có: $\tan \widehat{CAH}=\frac{CH}{AH}$ nên $AH=\frac{CH}{\tan \widehat{CAH}}=\frac{CH}{\tan 43^{\circ }}$

Suy ra $CH=AH\cdot \tan 43^{\circ }.$

Do đó, ý a) là đúng.

• Xét tam giác $BHC$ vuông tại $H$, ta có:

$\tan \widehat{CBH}=\frac{CH}{BH}$ nên $BH=\frac{CH}{\tan \widehat{CBH}}=\frac{CH}{\tan 28^{\circ }}$ (2)

Do đó, ý b) là đúng.

• Từ (1) và (2) ta có:

$AB=AH+BH=\frac{CH}{\tan 43^{\circ }}+\frac{CH}{\tan 28^{\circ }}=CH\left(\frac{1}{\tan 43^{\circ }}+\frac{1}{\tan 28^{\circ }}\right)$

Do đó_, ý c) là sai.

• Do đó, $CH=\frac{AB}{\frac{1}{\tan 43^{\circ }}+\frac{1}{\tan 28^{\circ }}}=\frac{250}{\frac{1}{\tan 43^{\circ }}+\frac{1}{\tan 28^{\circ }}}\approx 84,66(\mathrm{m}).$

Vậy cồn cách bờ sông hai người đứng khoảng $84,66\mathrm{m}$.

Vậy ý d) là sai.

Hướng dẫn giải

a) Với $a\ge 0,a\ne 4,a\ne 9$, ta có:

$A=\frac{3}{\sqrt{a}+3}:\left(\frac{\sqrt{a}-2}{\sqrt{a}+3}+\frac{\sqrt{a}-3}{2-\sqrt{a}}-\frac{9-a}{a+\sqrt{a}-6}\right)$

$=\frac{3}{\sqrt{a}+3}:\left[\frac{{\left(\sqrt{a}-2\right)}^2}{\left(\sqrt{a}+3\right)\left(\sqrt{a}-2\right)}-\frac{\left(\sqrt{a}-3\right)\left(\sqrt{a}+3\right)}{\left(\sqrt{a}+3\right)\left(\sqrt{a}-2\right)}-\frac{9-a}{\left(\sqrt{a}+3\right)\left(\sqrt{a}-2\right)}\right]$

$=\frac{3}{\sqrt{a}+3}:\left[\frac{a-4\sqrt{a}+4}{\left(\sqrt{a}+3\right)\left(\sqrt{a}-2\right)}-\frac{a-9}{\left(\sqrt{a}+3\right)\left(\sqrt{a}-2\right)}-\frac{9-a}{\left(\sqrt{a}+3\right)\left(\sqrt{a}-2\right)}\right]$

$=\frac{3}{\sqrt{a}+3}:\left[\frac{a-4\sqrt{a}+4-a+9-9+a}{\left(\sqrt{a}+3\right)\left(\sqrt{a}-2\right)}\right]$

$=\frac{3}{\sqrt{a}+3}:\left[\frac{a-4\sqrt{a}+4}{\left(\sqrt{a}+3\right)\left(\sqrt{a}-2\right)}\right]$

$=\frac{3}{\sqrt{a}+3}:\frac{{\left(\sqrt{a}-2\right)}^2}{\left(\sqrt{a}+3\right)\left(\sqrt{a}-2\right)}$

$=\frac{3}{\sqrt{a}+3}\cdot \frac{\left(\sqrt{a}+3\right)\left(\sqrt{a}-2\right)}{{\left(\sqrt{a}-2\right)}^2}$

$=\frac{3}{\sqrt{a}-2}$.

Vậy với $a\ge 0,a\ne 4,a\ne 9$ ta được $P=\frac{3}{\sqrt{a}-2}$.

b) Ta có: $A+\left|A\right|=0$ suy ra $\left|A\right|=-A$.

Do đó, $A\le 0$ hay $\frac{3}{\sqrt{a}-2}\le 0$ suy ra $\sqrt{a}-2<0$ do đó $\sqrt{a}<2$.

Suy ra $0\le a<4$.

Vậy $0\le a<4$ là giá trị cần tìm.

Hướng dẫn giải

xy, lấy lần lượt ba điểm $A,B,C$ (ảnh 1)"> 

a) Ta có $O{O}^{\prime }=OB+B{O}^{\prime }\left(d=R+R^{\prime }\right)$

Do đó đường tròn $\left(O\right)$ và đường tròn $\left(O^{\prime }\right)$ tiếp xúc ngoài với nhau tại $B.$

Xét $\Delta ODE$ cân tại $O$ (do $OD=OE)$ nên đường cao $OH$ đồng thời là đường trung tuyến của tam giác. Do đó $H$ là trung điểm của $DE$.

Mà $$H$$ lại là trung điểm của $AC$, do đó tứ giác $ADCE$ là hình bình hành.

Mặt khác, $AC\perp DE$ nên hình bình hành $$ADCE$$ là hình thoi.

b) Xét đường tròn $\left(O\right)$ đường kính $AB$ ta có $\widehat{AEB}=90^{\circ }$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Do đó $BE\perp AE$ tại $E$.

Mà $AE//CD$ (do $$ADCE$$ là hình thoi) nên $$EB\perp CD$$.

Xét đường tròn $\left(O^{\prime }\right)$ đường kính $BC$ ta có $\widehat{BFC}=90^{\circ }$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Do đó $BF\perp CD$ tại $F$.

Ta có $EB\perp CD$ và $FB\perp CD$ suy ra $EB$ và $FB$ trùng nhau.

Vậy ba điểm $F,B,E$ thẳng hàng.

c) Tam giác $FDE$ vuông tại $F$ có $$FH$$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $DE$ nên $FH=\frac{1}{2}DE=HD=HE.$

Do đó $\Delta HFD$ cân tại $H$, do đó $\widehat{HFD}=\widehat{HDC}$.

Mặt khác, $$O^{\prime }FC$$ cân tại $O^{\prime }$ (do $$O^{\prime }F=O^{\prime }C$$) nên $\widehat{O^{\prime }FC}=\widehat{HCD}$

Mà $\widehat{HDC}+\widehat{HCD}=90^{\circ }$ (tam giác $$HCD$$ vuông tại $$H$$)

Nên $\widehat{HFD}+\widehat{O^{\prime }FC}=90^{\circ }$.

Do đó $\widehat{HF{O}^{\prime }}=180^{\circ }-\left(\widehat{HFD}+\widehat{O^{\prime }FC}\right)=180^{\circ }-90^{\circ }=90^{\circ }$.

Ta có $HF\perp O^{\prime }F$ tại $F$ và $F$ thuộc đường tròn $\left(O^{\prime }\right)$ nên $$HF$$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left(O^{\prime }\right)$.

Vậy $$HF$$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left(O^{\prime }\right)$.

Hướng dẫn giải

Gọi số máy móc công ty nên sử dụng là $x$ máy $\left(x>0,x\in \mathbb{N}\right)$.

Trong một giờ số quả bóng tennis sản xuất được là $30x$ (quả bóng).

Như vậy, số giờ để sản xuất $8000$ quả bóng tennis là $\frac{8000}{30x}$ giờ.

Mỗi giờ phải trả $192000$đồng cho người giám sát và chi phí thiết lập cho mỗi máy là 200 nghìn đồng nên chi phí sản xuất là

$B=200000x+\frac{8000}{30x}\cdot 192000=200000x+\frac{51200000}{x}$ (đồng)

Với hai số không âm $a$ và $b$ ta có ${\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}^2\ge 0$ suy ra $a+b\ge 2\sqrt{ab}$.

Áp dụng bất đẳng thức trên với hai số dương $200000x$ và $\frac{51200000}{x}$, ta được:

$200000x+\frac{51200000}{x}\ge 2\sqrt{200000x\cdot \frac{51200000}{x}}=6400000$

Dấu “=” xảy ra khi $200000x=\frac{51200000}{x}$ hay $x^2=256$ suy ra $x=16$ (do $x>0,x\in \mathbb{N}$)

Vậy số máy móc công ty nên sử dụng là 16 máy để chi phí sản xuất là thấp nhất.