Đề thi cuối kì 1 Toán 9 Chân trời sáng tạo (Tự luận) – Đề 3 (có đáp án)

a) ⦁ Xét biểu thức $$A=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+7}$$.

Với $x\ge 0,$ ta luôn có $\sqrt{x}+7>0.$

Điều kiện xác định của biểu thức $A$ là $x\ge 0.$

⦁ Xét biểu thức $B=\frac{x}{x-4}-\frac{1}{2-\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}+2}$.

Với $x\ge 0,$ ta có $$x-4=\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right).$$

Điều kiện xác định của biểu thức $B$ là $x\ge 0,x-4\ne 0$ tức là $x\ge 0,x\ne 4.$

b) Thay $x=25$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $A,$ ta được:

$$A=\frac{\sqrt{25}-2}{\sqrt{25}+7}=\frac{5-2}{5+7}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}.$$

Vậy $A=\frac{1}{4}$ khi $x=25.$

c) Với $x\ge 0,x\ne 4,$ ta có:

$B=\frac{x}{x-4}-\frac{1}{2-\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}+2}$

 $=\frac{x}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}+\frac{\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}+\frac{\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}$

 $=\frac{x+\sqrt{x}+2+\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}$$=\frac{x+2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}$

 $=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}.$

Vậy với $x\ge 0,x\ne 4,$ thì $B=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}.$

d) Với $x\ge 0,x\ne 4,$ ta có: $P=AB=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+7}\cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}$$$=\frac{x}{\sqrt{x}+7}.$$

Với $x\ge 0,x\ne 4,$ ta cũng có $P\ge 0$. Khi đó, $\sqrt{P}\le \frac{1}{2}$ suy ra $P\le \frac{1}{4}.$

Ta có: $P\le \frac{1}{4}$

$$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+7}\le \frac{1}{4}$$

$$\frac{4\sqrt{x}}{4\left(\sqrt{x}+7\right)}\le \frac{\sqrt{x}+7}{4\left(\sqrt{x}+7\right)}$$

$$4\sqrt{x}\le \sqrt{x}+7$$

$$3\sqrt{x}\le 7$$

$$\sqrt{x}\le \frac{7}{3}$$

$$x\le \frac{49}{9}$$

Kết hợp các điều kiện, ta có $$0\le x\le \frac{49}{9};x\ne 4.$$

Mà $$x$$ nguyên nên $$x\in \left\{0;1;2;3;5\right\}$$

Vậy $$x\in \left\{0;1;2;3;5\right\}$$.

1. a) Điều kiện xác định: $x\ne 0,x\ne 2$.

Ta có: $\frac{x+2}{x-2}-\frac{1}{x}=\frac{2}{x\left(x-2\right)}$

$\frac{x\left(x+2\right)}{x\left(x-2\right)}-\frac{x-2}{x\left(x-2\right)}=\frac{2}{x\left(x-2\right)}$

$x\left(x+2\right)-\left(x-2\right)=2$

$x^2+2x-x+2-2=0$

$x^2+x=0$

$x\left(x+1\right)=0$

$x=0$ hoặc $x+1=0$

$x=0$ (loại) hoặc $x=-1$ (thỏa mãn)

Vậy nghiệm của phương trình là $x=-1$.

b) $\frac{2x-1}{2}-\frac{x+1}{6}\ge \frac{4x-5}{3}$

$\frac{6\left(2x-1\right)}{12}-\frac{2\left(x+1\right)}{12}\ge \frac{4\left(4x-5\right)}{12}$

$6\left(2x-1\right)-2\left(x+1\right)\ge 4\left(4x-5\right)$

$12x-6-2x-1\ge 16x-20$

$10x-7\ge 16x-20$

$10x-16x\ge -20+7$

$-6x\ge -13$

    $x\le \frac{13}{6}.$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x\le \frac{13}{6}.$

c) $\sqrt{18x+9}-\sqrt{8x+4}+\frac{1}{3}\sqrt{2x+1}=4$ (ĐKXĐ: $x\ge -\frac{1}{2})$

$\sqrt{9\left(2x+1\right)}-\sqrt{4\left(2x+1\right)}+\frac{1}{3}\sqrt{2x+1}=4$

$3\sqrt{2x+1}-2\sqrt{2x+1}+\frac{1}{3}\sqrt{2x+1}=4$

$\frac{4}{3}\sqrt{2x+1}=4$

$\sqrt{2x+1}=3$

    $2x+1=9$

    $2x=8$

      $x=4$ (thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm là $x=4$.

2. Gọi $x,y$ (kg/m³) lần lượt là khối lượng riêng của chất lỏng loại I và chất lỏng loại II $\left(x,y>0\right).$

Theo đề, khối lượng riêng của chất lỏng loại I lớn hơn khối lượng riêng của chất lỏng loại II là $200kg/{\mathrm{m}}^3$ nên ta có phương trình: $x-y=200$ (1).

Thể tích của 4 kg chất lỏng loại I là: $\frac{4}{x}$ (m³). Thể tích của 3 kg chất lỏng loại II là: $\frac{3}{y}$ (m³).

Khi đó, tổng thể tích hai loại chất lỏng là: $$\frac{4}{x}+\frac{3}{y}$$ (m³).

Người ta trộn $4\mathrm{kg}$ chất lỏng loại I với $3kg$ chất lỏng loại II, do đó khối lượng hỗn hợp là: $3+4=7\left(\mathrm{kg}\right)$.

Thể tích của hỗn hợp sau khi pha là: $\frac{7}{700}=\frac{1}{100}$ (m³).

Khi đó, ta có phương trình: $$\frac{4}{x}+\frac{3}{y}=\frac{1}{100}$$   (2)

Từ (1) và (2), suy ra hệ phương trình $\{\begin{array}{l}x-y=200\\ \frac{4}{x}+\frac{3}{y}=\frac{1}{100}\end{array}$

Từ (1) ta có: $x=200+y$, thế vào phương trình (2), ta được: $\frac{4}{200+y}+\frac{3}{y}=\frac{1}{100}$.

Giải phương trình:

$\frac{4}{200+y}+\frac{3}{y}=\frac{1}{100}$

$\frac{400y}{100\left(200+y\right)y}+\frac{300\left(200+y\right)}{100y\left(200+y\right)}=\frac{y\left(200+y\right)}{100y\left(200+y\right)}$

$400y+300\left(200+y\right)=y\left(200+y\right)$

$400y+60000+300y=200y+y^2$

$y^2-500y-60000=0$

$y^2+100y-600y-60000=0$

$y\left(y+100\right)-600\left(y+100\right)=0$

$\left(y+100\right)\left(y-600\right)=0$

Suy ra $y-600=0$ (do $y+100>0$ với mọi $y>0)$

Do đó $y=600$ (thỏa mãn).

Thay $y=600$ vào phương trình $x=200+y$, ta được $x=800$ (thỏa mãn).

Vậy khối lượng riêng của chất lỏng loại I và loại II lần lượt là $800kg/{\mathrm{m}}^3$ và $600kg/{\mathrm{m}}^3.$

3. a) Chi phí ăn uống của mỗi người trong một ngày là $60000+60000+30000=150000$ (đồng).

Gọi $x$ là số bạn học sinh có thể tham gia $\left(x\in \mathbb{N}\ast \right)$.

Tổng chi phí phải trả cho buổi dã ngoại có $x$ bạn tham gia là $150000x+17000000$ (đồng).

Vì số tiền nhà tài trợ dự kiến là $30$ triệu đồng nên ta có bất phương trình:

$150000x+17000000\le 30000000$.

b) Giải bất phương trình:

          $150000x+17000000\le 30000000$

          $x\le \frac{260}{3}\approx 86,7$

Vậy có thể tổ chức cho nhiều nhất cho $86$ bạn tham gia.

Hướng dẫn giải

Giả sử hình ảnh chiếc tàu trong bài toán được mô tả bởi hình vẽ sau:

250mthì tàu ở độ sâu bao nhiêu so với mặt nước (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)? (ảnh 1)">

a) Xét tam giác $ABC$ vuông tại $C$ ta có:

$CB=AB.\sin A=250.\sin 21^{\circ }\approx 89,6\left(\mathrm{m}\right).$

Vậy tàu đi được $250\mathrm{m}$thì tàu ở độ sâu khoảng $89,6\mathrm{m}.$

b) Đổi $9$ km/h $=2,5$ m/s.

Gọi $t$ (s) là thời gian để tàu đi được độ sâu $200\mathrm{m}.$

Quãng đường tàu đi được trong thời gian $t$ là: $AB=S_{AB}=2,5t\left(\mathrm{m}\right).$

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $C$, ta có: $\sin A=\frac{BC}{AB}$.

Suy ra $AB=\frac{CB}{\sin A}$ hay $2,5t=\frac{200}{\sin 21^{\circ }}$, suy ra $t=\frac{200}{2,5.\sin 21^{\circ }}\approx 223,23\left(\mathrm{s}\right)$.

Đổi $223,23\mathrm{s}\approx 3$ phút $43$ giây.

Vậy sau khoảng $3$ phút $43$ giây thì tàu ở độ sâu $200\mathrm{m}.$

H là trung điểm của $AC$. Vẽ dây $DE$ của đường tròn $\left(O\right)$ vuông góc với $AC$ tại $H$. Chứng minh tứ giác $ADCE$ là hình thoi. (ảnh 1)">

b) Xét đường tròn $\left(O\right)$ đường kính $AB$ ta có $\widehat{AEB}=90^{\circ }$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Do đó $BE\perp AE$ tại $E$.

Mà $AE//CD$ (do $$ADCE$$ là hình thoi) nên $$EB\perp CD$$.

Xét đường tròn $\left(O^{\prime }\right)$ đường kính $BC$ ta có $\widehat{BFC}=90^{\circ }$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Do đó $BF\perp CD$ tại $F$.

Ta có $EB\perp CD$ và $FB\perp CD$ suy ra $EB$ và $FB$ trùng nhau.

Vậy ba điểm $F,B,E$ thẳng hàng.

c) Tam giác $FDE$ vuông tại $F$ có $$FH$$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $DE$ nên $FH=\frac{1}{2}DE=HD=HE.$

Do đó $\Delta HFD$ cân tại $H$, do đó $\widehat{HFD}=\widehat{HDC}$.

Mặt khác, $$O^{\prime }FC$$ cân tại $O^{\prime }$ (do $$O^{\prime }F=O^{\prime }C$$) nên $\widehat{O^{\prime }FC}=\widehat{HCD}$

Mà $\widehat{HDC}+\widehat{HCD}=90^{\circ }$ (tam giác $$HCD$$ vuông tại $$H$$)

Nên $\widehat{HFD}+\widehat{O^{\prime }FC}=90^{\circ }$.

Do đó $\widehat{HF{O}^{\prime }}=180^{\circ }-\left(\widehat{HFD}+\widehat{O^{\prime }FC}\right)=180^{\circ }-90^{\circ }=90^{\circ }$.

Ta có $HF\perp O^{\prime }F$ tại $F$ và $F$ thuộc đường tròn $\left(O^{\prime }\right)$ nên $$HF$$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left(O^{\prime }\right)$.

Vậy $$HF$$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left(O^{\prime }\right)$.

Hướng dẫn giải

Xét $\Delta AEH$ và $\Delta CGF$ có: