Đề thi cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức cấu trúc mới – Đề 3 (có đáp án)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng.  b) Sai.          c) Sai.              d) Sai.

Gọi $x$ là vận tốc của xe tải, $y$ là vận tốc của xe khách ($y>x>0$, km/h).

• Theo đề, mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải là $15$ km nên $y-x=15.$

Do đó, ý a) là đúng.

• Thời gian xe khách đã đi là: 1 giờ 40 phút + 40 phút = 2 giờ 20 phút = $\frac{7}{3}$ giờ.

Khi hai xe gặp nhau, xe khách đi được quãng đường là: $\frac{7}{3}y$ (km) và xe tải đi được quãng đường là $\frac{2}{3}x$ (km).

Theo bài, quãng đường Thành phố Hồ Chí Minh – Cần Thơ dài 170 km nên ta có phương trình: $\frac{2}{3}x+\frac{7}{3}y=170$.

Do đó, ý b) là sai.

• Từ đó, ta có hệ phương trình biểu diễn bài toán là: $\{\begin{array}{l}y-x=15\\ \frac{2}{3}x+\frac{7}{3}y=170\end{array}$.

Do đó, ý c) là sai.

• Thế $y=15+x$, thế vào phương trình $\frac{2}{3}x+\frac{7}{3}y=170$, ta được:

$\frac{2}{3}x+\frac{7}{3}\left(15+x\right)=170$

$\frac{2}{3}x+35+\frac{7}{3}x=170$

$3x=135$

$x=45$ (thỏa mãn).

Thay $x=45$ vào phương trình (1), ta được: $y=15+45=60$ (thỏa mãn).

Vậy vận tốc của xe tải là $45$km/h, vận tốc của xe khách là $60$ km/h.

Vậy ý d) là sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng.            b) Đúng.            c) Sai.                  d) Sai.

• Chiều cao của tòa nhà chính là độ dài đoạn thẳng $BH$.

Xét tam giác $CAE$ vuông tại $E$, ta có:

$CE=AE.\tan \widehat{CAE}=AE.\tan 40^{\circ }\left(\mathrm{m}\right)$ (1).

Do đó, ý a) là đúng.

• Xét tam giác $BAE$ vuông ở $E$, ta có:

$BE=AE.\tan \widehat{BAE}=AE.\tan 50^{\circ }\left(\mathrm{m}\right)$ (2).

Do đó, ý b) là đúng.

• Từ (1) và (2) suy ra $BC=BE-CE=AE\tan 50^{\circ }-AE\tan 40^{\circ }$

                                $BC=AE\left(\tan 50^{\circ }-\tan 40^{\circ }\right)$

                                $5=AE\left(\tan 50^{\circ }-\tan 40^{\circ }\right)$

                               $AE=\frac{5}{\tan 50^{\circ }-\tan 40^{\circ }}\left(\mathrm{m}\right)$.

Do đó, ý c) là sai.

• Với $AE=\frac{5}{\tan 50^{\circ }-\tan 40^{\circ }}$ suy ra $CE=AE\cdot \tan \widehat{CAE}=\frac{5}{\tan 50^{\circ }-\tan 40^{\circ }}\cdot \tan 40^{\circ }\approx 11,9\left(\mathrm{m}\right).$

Chiều cao của tòa nhà là: $5+11,9+7\approx 23,9\left(\mathrm{m}\right)$.

Vậy tòa nhà cao $23,9\left(\mathrm{m}\right)$.

Do đó, ý d) là sai.

Hướng dẫn giải

    a) Với $a>0,a\ne 1$, ta có:

$$A=\left(\frac{\sqrt{a}}{2}-\frac{1}{2\sqrt{a}}\right)\left(\frac{a-\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1}-\frac{a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}\right)$$

   $$=\left(\frac{a}{2\sqrt{a}}-\frac{1}{2\sqrt{a}}\right)\left[\frac{\left(\sqrt{a}-1\right)\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1}-\frac{\left(\sqrt{a}+1\right)\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}\right]$$

$$=\frac{a-1}{2\sqrt{a}}\left[\frac{{\left(\sqrt{a}-1\right)}^2\sqrt{a}}{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}-\frac{{\left(\sqrt{a}+1\right)}^2\sqrt{a}}{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}\right]$$

$$=\frac{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}{2\sqrt{a}}\cdot \frac{{\left(\sqrt{a}-1\right)}^2\sqrt{a}-{\left(\sqrt{a}+1\right)}^2\sqrt{a}}{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}$$

$$=\frac{{\left(\sqrt{a}-1\right)}^2\sqrt{a}-{\left(\sqrt{a}+1\right)}^2\sqrt{a}}{2\sqrt{a}}$$

 $$=\frac{\left(a-2\sqrt{a}+1\right)\sqrt{a}-\left(a+2\sqrt{a}+1\right)\sqrt{a}}{2\sqrt{a}}$$

$$=\frac{a\sqrt{a}-2a+\sqrt{a}-a\sqrt{a}-2a-\sqrt{a}}{2\sqrt{a}}$$

$$=\frac{-4a}{2\sqrt{a}}$$

$$=-2\sqrt{a}$$.

Vậy $$A=-2\sqrt{a}$$ với $a>0,a\ne 1$.

b) Ta có: $\left|a-1\right|=1$ suy ra $a-1=1$ hoặc $a-1=-1$.

Suy ra $a=2$ (thỏa mãn) hoặc $a=0$ (loại).

Thay $a=2$ vào $$A=-2\sqrt{a}$$ được $$A=-2\sqrt{2}$$.

Hướng dẫn giải

Tương tự, ta có: \(OM\,{\rm{//}}\,AC\) hay $OM//AN$. (2)

Xét tứ giác $AMON$ có $ON//AM$ và $OM//AN$ nên $AMON$ là hình bình hành.

Ta có: hai tiếp tuyến $AB,AC$ cắt nhau tại $A$ nên $AO$ là tia phân giác của $\widehat{BAC}$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau), hay $AO$ là tia phân giác của $\widehat{MAN}$ (3)

Do đó hình bình hành $AMON$ là hình thoi.

c) Ta có: $\sin \widehat{OAC}=\frac{OC}{OA}=\frac{R}{2R}=\frac{1}{2},$ suy ra $\widehat{OAC}=30^{\circ }$.

Suy ra $\widehat{MON}=\widehat{MAN}=2\cdot \widehat{OAC}=60^{\circ }$.

Ta có $\widehat{BOM}+\widehat{MON}=\widehat{BON}=90^{\circ }$ suy ra $$\widehat{BOM}=90^{\circ }-\widehat{MON}=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }$$.

Suy ra $\widehat{BOC}=\widehat{BOM}+\widehat{MOC}=30^{\circ }+90^{\circ }=120^{\circ }.$

Mà $\widehat{BOC}$ là góc ở tâm chắn cung nhỏ $BC$ nên

Do đó số đo cung lớn $BC$ là:

Vậy diện tích hình quạt giới hạn bởi các bán kính $OB,OC$ và cung lớn $BC$ là

$S=\frac{240\pi R^2}{360}=\frac{2\pi R^2}{3}$ (đơn vị diện tích).

Hướng dẫn giải

Gọi cạnh hình vuông được uốn từ đoạn $AB$ là $x$ ($0<x<8$, đơn vị: m).

Lúc này, độ dài đoạn $AB$ chính là chu vi hình vuông đó và bằng $4x$ (m).

Do đó, độ dài đoạn $BC$ là $8-4x$ (m).

Suy ra, độ dài cạnh hình vuông được uốn bởi đoạn $BC$ là $\frac{8-4x}{4}=2-x$ (m).

Tổng diện tích hai hình vuông lúc này là: $x^2+{\left(2-x\right)}^2({\mathrm{m}}^2).$

Ta có: $x^2+{\left(2-x\right)}^2=2x^2-4x+4=2\left(x^2-2x+1\right)+2=2{\left(x-1\right)}^2+2\ge 2$.

Tổng diện tích hai hình vuông đạt giá trị nhỏ nhất bằng $2m^2$ khi $x-1=0$ hay $x=1.$

Khi đó, độ dài đoạn thẳng $AB=4\mathrm{m}$và độ dài đoạn thẳng $BC=8-4=4\mathrm{m}$ hay $B$ là trung điểm của đoạn $AC$.

Vậy để tổng diện tích hai hình vuông đạt giá trị nhỏ nhất thì ta chia đoạn dây thép thành hai phần bằng nhau $AB=BC=4\mathrm{m}.$